n i 1
( AW )i nWi
.
式中AWi表示向量AW的第i个分量。
例如
1 5
1/ 5 1
1/ 3
3
每行之乘积
1
1 5
1 3
0.7
51 3 15
3 1/ 3 1
3
11
1
3
0.412
0.105
球Mi的三次方根
2.466
标准化
0.637
,
1
0.258
即权系数为
W (0.105, 0.637, 0.258)T
.
式中(AW)i表示向量AW的第i个分量。
例 某厂准备购买一台计算机，希望功能强，
价格低，维护容易。现有A、B、C三种机型可供 选择。其中A的性能较好，价格一般，维护一般 水平；B的性能最好，价格较贵，维护也只需一 般水平；C的性能差，但价格便宜，容易维护。 试用层次分析法进行决策分析。
解：1、明确问题；2、建立层次结构；先构造层
4、层次单排序及其一致性检验（用方 根法计算这三个准则关于目标的排序权值）
M1 15, M 2 0.667, M3 1
w1 3 15 2.446, w2 3 0.667 0.405, w3 3 1 1
标准化：
2.446
2.446
W1 2.446 0.405 1 3.871 0.637
在具体计算中，当ek与ek-1接近到一定程度时， 我们就取e=ek
例如
1 1 1/ 5 1/ 3 A 1 1 1/ 3 , e0 1/ 3
5 3 1 1/ 3
1 1 1/ 5 1/ 3 0.733 e '1 Ae0 1 1 1/ 3 1/ 3 0.778 , e '1 0.733 0.778 3 4.511
1.936 3 0.637
0.318 0.785 3 0.105 3 0.258
1.936 0.318 0.785 3.0385 1.911 0.315 0.774
判断矩阵的一致性指标CI为
CI max n 3.0385 3 0.0192,
5 3 1 0.665 1.991
0.467 0.155
e2
e '2 e '2
1 3.014
0.565 1.991
0.184 0.661
1 1 1/ 5 0.155 0.471 e '3 Ae2 1 1 1/ 3 0.184 0.559 , e '3 0.471 0.559 1.988 3.018
0.105
1 1/ 5 1/ 3 0.105 0.318
W
0.637
.AW
5
1
3
0.637
1.936
0.258
3 1/ 3 1 0.258 0.785
再求最大)i nWi
0.318 3 0.105
1.936 3 0.637
0.785 3 0.258
5 3 1 1/ 3 3
0.733 0.162
e1
e '1 e '1
1 4.511
0.778
0.172
3 0.665
1 1 1/ 5 0.162 0.467 e '2 Ae1 1 1 1/ 3 0.172 0.565 , e '2 0.467 0.565 1.991 3.014
W2
0.405 2.446 0.405
1
0.105
W3
2.446
1 0.405 1
0.258.
则 Wi 为所求特征向量。
计算最大特征值
max
n i 1
( AW )i nWi
.
式中 ( AW )i 表示向量AW的第i个分量。
一致检验结果为
0.637
1 5 3 0.637
W 0.105.AW 1/ 5
1
1/
3
0.105
0.258
1/ 3 3 1 0.258
1 0.637+5 0.105+3 0.258 1.936 1/5 0.637+1 0.105+1/3 0.258 0.318 1/3 0.637+3 0.105+1 0.258 0.785
max
3 i 1
( AW )i nWi
3.037
二、迭代法
建立n阶方阵 A (aij )nn. 按下列方法求向量迭代序列：
1
n
1
e0
n
M
1
n n1.
e 'k 为 Aek1 的n个分量之和
可以证明，迭代的维列向量序列 {ek } 收敛。
记其极限为e，且记
1
e
2
M
n
n1.
则权系数可取
i i ,i 1, 2,L , n
5 3 1 0.661 1.988
0.471 0.156
e3
e '3 e '3
1 3.018
0.559
0.185
1.988 0.659
1 1 1/ 5 0.156 0.473 e '4 Ae3 1 1 1/ 3 0.185 0.561 , e '4 0.473 0.5611.994 3.028
次结构，如下图所示。
购买一台满意的计算机G
目标层
功能强S1
价格低S2
易维护S3 准则层
A
B
C
方案层
对于三个准则（S1，S2，S3）关于 目标G的优先顺序，根据讨论，该厂在计算 机应用上首先要求功能强，其次要求易维 护，再次才是价格低。其判断矩阵如下表 所示。
3、构造判断矩阵
表一
G S1 S2 S3 S1 1 5 3 S2 1/5 1 1/3 S3 1/3 3 1
一、最大特征值和特征向量的近似计算（方根法）
计算的主要步骤：
1、计算判断矩阵A的每一行元素乘积
n
Mi aij ,i 1, 2,L , n. j 1
2．计算Mi的n次方根
Wi n Mi . 3．若 W i 标准化为
Wi
Wi
n
,
W j
j 1
则 Wi 为所求特征向量。
4．计算最大特征值
max
三、和法
1、计算判断矩阵A的每一列归一化
n
ij aij / aij i 1 n
2．按行求和 wi ij j 1
n
3．归一化 Wi wi / wi i 1
W (w1, w2 ,L , wn )T
则Wi为所求特征向量。
4．计算AW
5、计算最大特征值得近似值
max
n i 1
( AW )i nWi
5 3 1 0.659 1.994
0.473 0.156
e4
e '4 e '4
1 3.028
0.561 1.994
0.185 0.659
由于e4=e3，迭代经过4次中止，权系数是
1 0.156,2 0.185,3 0.659.
相应的综合评价公式是
y 0.156x1 0.185x2 0.659x3