变化率与导数(第1课时）
莱
牛
布
顿
尼
茨
物理的尽头是数学
微积分符号创始人
牛顿和莱布尼茨他们分别从运动学和几何学角度创立了微积分，成为十七世纪最伟大 的数学发现，被誉为数学史的里程碑。它在研究物体运动的速度与加速度，曲线的切线， 函数的最值（极值），求长度、面积、体积和重心等有着广泛应用。
2
世界上，变化无处不在，人们 经常关心变化快慢问题，如何刻画 事物变化的快慢呢？
x
x2 x1
f(x1O)
的几何意义是割线的斜率。
课后思考
y = f (x) 在 x = x0 处的导数,
f (x0 ) 有何几何意义？
y=f(x) B(x2,y2)
A(x1,y1) x
19
谢谢
敬指 请
导
12
瞬时速度
当时间间隔| t | 无限变小时，
平均速度h(2 t) h(2) t
趋近于一个确定的值13.1
极限 （limit)
运动员在t=t0 时刻的瞬时速度怎样表示?
v(t0
)
lim
t 0
h(t0
t) t
h(t0
)
问题4：依照前面的研究，你能给出函数 y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义吗？
14
瞬时变化率
---- 导数
这是一个确 定值
例题：自由落体运动的位移与时间函数关系：
s(t) 1 gt2 2
求t=t0的导数 s(,t它0）有何物理意义？
解：
s(t0）
lim
t 0
s(t0
t) t
s(t0
)
1
lim (
t 0
gt0
2
gt
)
gt0
16
物体运动变化
导数概念构建
函数
运动变化快慢
平
问题1 气球膨胀率 我们吹过了气球，请你思考一下吹气球的过程,随 着气球内空气容量的增加,气球的半径增加的越来越 慢，你能从数学角度描述这种现象吗?
增量比
平均膨胀率
4
气球理想化为标准的球体。
有图有真相
V V r(V2 ) r(V1)
1
2
V2 V1
思考1:当空气容量从V1增加到V2时,气 球的平均膨胀率是多少?
请你计算函数在0 t 65 时间段里 49
的平均变化率v(即平均速度).
10
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
在0 t 65 这段时间里， 49
h( 65) h(0)
v
49 65
0
o
t
49
思考3：平均速度能准确表示运动员运动状 态吗?
11
问题3：怎样求出物体运动的“瞬时速度”？
h(2 t) h(2) t
平均膨胀率 r(V2 ) r(V1) V2 V1
7
你能类比表示y=f(x)从x1到x2的平均变
化率吗？
f (x2 ) f (x1) x2 x1
y y2 y1
x x2 x1
自变量的改变量
y y2 y1 f (x2） f (x1)
f (x2 ) f (x1) x2 x1
函数值的改变量
f变化率 法？
y y2 y1 f，(x2根) 据f (x图1) 像你有何想
x x2 x1
x2 x1
直线AB 的斜率
y f(x2)
f(x1)
O
y=f(x) B(x2,y2)
A(x1,y1) x
9
问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位： 秒）存在函数关系: h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
瞬
均
时
速
速
度
度
函数变化快慢
数学
素养
瞬
平
时
均
变
变
化
化
率
率
17
作业
• 自主学习第6页例1（及练习） • 完成教材第10页习题1.1第3题 • 阅读教材第61页“走进微积分” • 有兴趣的同学课后可上网查阅有关微积分创建的故事，了解微积分创建的
意义和伟大功绩。
y
函数f(x)的平均变化率 f(x2)
y f(x2 ) f (x1)