空间中得垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直:如果两条直线于一点或经过后相交于一点,并且交角为 ,则称这两条直线互相垂直、二、线面垂直:1、定义:如果一条直线与一个平面相交,并且与这个平面内得_________________,则称这条直线与这个平面垂直、也就就是说,如果一条直线垂直于一个平面,那么她就与平面内任意一条直线都、直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α、2、判定定理:如果一条直线与平面内得直线垂直,则这条直线与这个平面垂直、推论①:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也于这个平面、推论②:如果两条直线同一个平面,那么这两条直线平行、3、点到平面得距离: 长度叫做点到平面得距离、三、面面垂直:1、定义:如果两个相交平面得交线与第三个平面 ,又这两个平面与第三个平面相交所得得两条交线 ,就称这两个平面互相垂直、平面α,β互相垂直,记作α⊥β、2、判定定理:如果一个平面经过另一个平面得___________,则这两个平面互相垂直、3、性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面、四、求点面距离得常用方法:1、直接过点作面得垂线,求垂线段得长,通常要借助于某个三角形、2、转移法:借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面得距离来求解、3、体积法:利用三棱锥得特征转换位置来求解、题型一线线垂直、线面垂直得判定及性质例1、如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E就是PC得中点、求证:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE、【变式1】已知:正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ,AA1=2,E为棱CC1得中点.(Ⅰ ) 求证:B1D1⊥AE;(Ⅱ ) 求证:AC∥平面B1DE.【解答】(Ⅰ)连接BD,则BD∥B1D1,∵ABCD就是正方形,∴AC⊥ BD.∵CE⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴CE⊥BD.又∵AC∩CE=C,∴BD⊥面ACE.∵AE⊂面ACE,∴BD⊥AE,∴B1D1⊥AE.﹣﹣﹣(5分)(Ⅱ)证明:取BB1得中点F,连接AF、CF、EF.∵ E、F就是C1C、B1B得中点,∴ CE∥B1F且CE=B1F,∴ 四边形B1FCE就是平行四边形,∴ CF∥ B1E.∵ 正方形BB1C1C 中,E、F就是CC、BB得中点,∴ EF∥BC且EF=BC又∵ BC∥AD且BC=AD,∴ E F∥AD且EF=AD.∴ 四边形ADEF就是平行四边形,可得AF∥ED,∵ AF∩CF=C,BE∩ED=E,∴ 平面ACF∥平面B1DE. 又∵ AC⊂平面ACF,∴AC∥面B1DE.【变式2】如图,已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,点E、G分别就是CD、PC得中点,点F在PD上,且PF:FD=2:1.(Ⅰ )证明:EA⊥PB;(Ⅱ )证明:BG∥面AFC.【解答】(Ⅰ)证明:因为面ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以△ ACD为等边三角形,又因为E就是CD得中点,所以EA⊥AB.又PA⊥平面ABCD,所以EA⊥PA.而AB∩PA=A所以EA⊥面PAB,所以EA⊥PB.(Ⅱ)取PF中点M,所以PM=MF=FD.连接MG,MG∥C F,所以MG∥面AFC.连接BM,BD,设AC∩BD=O,连接OF,所以BM∥OF,所以BM∥面AFC.而BM∩MG=M所以面BGM∥面AFC,所以BG∥面AFC.【变式3】如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1得底面ABCD就是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=,AA1=2.(1)证明:AA1⊥BD(2)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(3)求三棱柱ABD﹣A1B1D1得体积.【解答】(1)证明:∵底面ABCD就是正方形,∴BD⊥AC,又∵ A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD,∴ A1O⊥BD,又∵ A1O∩AC=O,A1O⊂面A1AC,AC⊂面A1AC,∴BD⊥面A1AC,AA1⊂面A1AC,∴ AA1⊥BD.(2)∵ A1B1∥AB,AB∥CD,∴ A1B1∥CD,又A1B1=CD,∴四边形A1B1CD就是平行四边形, ∴ A1D∥B1C,同理A1B∥CD1,∵ A1B⊂平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,CD1⊂平面CD1B1,B1C⊂平面CD1B,且A1B∩A1D=A1,CD1∩B1C=C,∴平面A1BD∥平面CD1B1.(3)∵ A1O⊥面ABCD,∴ A1O就是三棱柱A1B1D1﹣ABD得高,在正方形ABCD中,AO=1.在Rt△A1OA中,AA1=2,AO=1,∴ A1O=,∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1得体积为.【变式4】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=BC=AC=AA1=4, 点F在CC1上,且C1F=3FC,E就是BC得中点.(1)求证:AE⊥平面BCC1B1(2)求四棱锥A﹣B1C1FE得体积;(3)证明:B1E⊥AF.【解答】(1)∵ AB=AC,E就是BC得中点,∴AE⊥ BC.在三棱柱ABC﹣A1B1C1,中,BB1∥ AA1,∴ BB1⊥平面ABC,∵ AE⊂平面ABC,∴ BB1⊥AE,….(2分)又∵ BB1∩BC=B,….(3分)BB1,BC⊂平面BB1C1C,∴AE⊥平面BB1C1C,….(4分)(2)由(1)知,即AE为四棱锥A﹣B1C1FE得高,在正三角形ABC中,AE=AB=2,…在正方形BB1C1C,中,CE=BE=2,CF=1,∴=﹣﹣S△CFE=4×=11.…(6分)∴=•AE==…(7分)(3)证明:连结B1F,由(1)得AE⊥平面BB1C1C,∵ B1E⊂平面BB1C1C,∴AE⊥B1E,….(8分)在正方形BB1C1C,中,B1F==5,B1E==2,EF==,∵ B1F2=B1E2+EF2,∴ B1E⊥EF….(9分)又∵AE∩EF=E,….(10分)AE,EF⊂平面AEF,∴ B1E⊥平面AEF,….(11分)∵ AF⊂平面AEF,∴ B1E⊥AF.….(12分)【变式5】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,BC=PD=2,E 为PC得中点,G在BC上,且CG=CB(1)求证:PC⊥BC;(2)求三棱锥C﹣DEG得体积;(3)AD边上就是否存在一点M,使得PA∥平面MEG？若存在,求AM得长;否则,说明理由.【解答】(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC.又∵ABCD就是正方形,∴BC⊥CD.又∵PD∩CD=D,∴BC⊥平面PCD.又∵PC⊂平面PCD,∴PC⊥BC.(2)∵BC⊥平面PCD,∴ GC就是三棱锥G﹣DEC得高.∵ E就是PC得中点,∴ S△EDC=S△PDC==×(×2×2)=1.V C﹣DEG=V G﹣DEC=GC•S△DEC=××1=.(3)连结AC,取AC中点O,连结EO、GO,延长GO交AD于点M,则PA∥平面MEG.证明:∵E为PC得中点,O就是AC得中点,∴EO∥PA.又∵EO⊂平面MEG,PA⊄平面MEG,∴PA∥平面MEG.在正方形ABCD中,∵O就是AC得中点,BC=PD=2,CG=CB.∴△OCG≌△OAM,∴AM=CG=,∴所求AM得长为.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【变式6】如图所示,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BB1⊥底面A1B1C1,A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1,D为AC得中点.(Ⅰ )求证:A1B⊥AC1(Ⅱ )在直线CC1上就是否存在一点E,使得A1E⊥平面A1BD,若存在,试确定E 点得位置;若不存在,请说明理由.【解答】(Ⅰ)证明:连接AB1∵ BB1⊥平面A1B1C1∴ B1C1⊥BB1∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1∴ B1C1⊥平面A1B1BA∴ A1B⊥B1C1、又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1(Ⅱ)存在点E在CC1得延长线上且CE=2CC1时,A1E⊥平面A1BD.设AB=a,CE=2a,∴,∴,,DE=,∴,∴A1E⊥A1D…∵BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1A1 , 又A1E⊂平面ACC1A1∴ A1E⊥ BD、又BD∩A1D=D ,∴ A1E⊥平面A1BD【变式7】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,点D就是AB得中点.(1)求证:AC⊥ BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1.【解答】证明:(1)因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,所以C1C⊥平面ABC,所以C1C⊥AC.又因为AC=3,BC=4,AB=5,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.又C1C∩BC=C,所以AC⊥平面CC1B1B,所以AC⊥ BC1.(2)连结C1B交CB1于E,再连结DE,由已知可得E为C1B得中点,又∵D为AB得中点,∴DE为△BAC1得中位线.∴AC1∥DE。

又∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1.【变式8】如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=2AC=2BC,D就是AA1得中点,CD⊥B1D.(1)证明:CD⊥B1C1;(2)平面CDB1分此棱柱为两部分,求这两部分体积得比.【解答】(1)证明:由题设知,直三棱柱得侧面为矩形,由D为AA1得中点,则DC=DC1,又AA1=2AC,可得DC12+DC2=CC12,则CD⊥ DC1,而CD⊥ B1D,B1D∩DC1=D,则CD⊥平面B1C1D,由于B1C1⊂平面B1C1D,故CD⊥ B1C1;(2)解:由(1)知,CD⊥B1C1,且B1C1⊥C1C,则B1C1⊥平面ACC1A1,设V1就是平面CDB1上方部分得体积,V2就是平面CDB1下方部分得体积,则V1=V B1﹣CDA1C1=S CDA1C1•B1C1=וB1C13=B1C13,V=V ABC﹣A1B1C1=AC•BC•CC1=B1C13,则V2=V﹣V1=B1C13=V1,故这两部分体积得比为1:1.【变式9】如图所示,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知底面就是边长为2得正方形,高为1,点E在B1B上,且满足B1E=2EB.(1)求证:D1E⊥A1C1;(2)在棱B1C1上确定一点F,使A、E、F、D1四点共面,并求此时B1F得长;(3)求几何体ABED1D得体积.【解答】(Ⅰ)证明:连结B1D1.因为四边形A1B1C1D1为正方形,所以A1C1⊥B1D1.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,DD1⊥平面A1B1C1D1,又A1C1⊂平面A1B1C1D1,所以DD1⊥A1C1.因为DD1∩B1D1=D1,DD1⊂平面BB1D1D,B1D1⊂平面BB1D1D,所以A1C1⊥平面BB1D1D.又D1E⊂平面BB1D1D,所以D1E⊥A1C1.…(4分)(Ⅱ)解:连结BC1,过E作EF∥BC1交B1C1于点F.因为AD1∥BC1,所以AD1∥EF.所以A、E、F、D1四点共面.即点F为满足条件得点.又因为B1E=2EB,所以B1F=2FC1,所以.…(8分)(Ⅲ)解:四边形BED1D为直角梯形,几何体ABED1D为四棱锥A﹣BED1D.因为==,点A到平面BED1D得距离h=,所以几何体ABED1D得体积为:=.…(13分)题型二面面垂直得判定例2、如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC为正三角形,D、E分别就是BC、CA得中点、(1)求证:平面PBE⊥平面PAC;(2)如何在BC上找一点F,使AD∥平面PEF？并说明理由、【变式1】如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD得交点,BE⊥平面ABCD.证明:平面AEC⊥平面BED、【解答】证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵BE⊥平面ABCD,∴AC⊥BE,则AC⊥平面BED,∵AC⊂平面AEC,∴平面AEC⊥平面BED;【变式2】如图,三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC得中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.【解答】在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G为AC得中点.∴,∴四边形CFDG就是平行四边形,∴DM=MC.又BH=HC,∴MH∥BD,又BD⊄平面FGH,MH⊂平面FGH,∴BD∥平面FGH;证法二:在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,H为BC得中点.∴,∴四边形BHFE为平行四边形.∴BE∥HF.在△ABC中,G为AC得中点,H为BC得中点,∴GH∥AB,又GH∩HF=H,∴平面FGH∥平面ABED,∵BD⊂平面ABED,∴BD∥平面FGH.(II)证明:连接HE,∵G,H分别为AC,BC得中点,∴GH∥AB,∵AB⊥BC,∴GH⊥BC,又H为BC得中点,∴EF∥HC,EF=HC.∴EFCH就是平行四边形,∴CF∥HE.∵CF⊥BC,∴HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,∴BC⊥平面EGH,又BC⊂平面BCD,∴平面BCD⊥平面EGH.【变式3】如图所示,已知AB⊥平面BCD,M、N分别就是AC、AD得中点,BC⊥CD.求证:平面BCD⊥平面ABC.【解答】因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.又CD⊥BC,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.又CD⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ABC.【变式4】如图,已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD就是边长为4得正方形,△PAD就是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别就是PD,PC,BC得中点.(1)求证:平面EFG⊥平面PAD;(2)若M就是线段CD上一点,求三棱锥M﹣EFG得体积.【解答】(1)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,CD⊥AD∴CD⊥平面PAD…(3分)又∵△PCD中,E、F分别就是PD、PC得中点,∴EF∥CD,可得EF⊥平面PAD∵EF⊂平面EFG,∴平面EFG⊥平面PAD;…(6分)(2)∵EF∥CD,EF⊂平面EFG,CD⊄平面EFG,∴CD∥平面EFG,因此CD上得点M到平面EFG得距离等于点D到平面EFG得距离,∴V M﹣EFG=V D﹣EFG,取AD得中点H连接GH、EH,则EF∥GH,∵EF⊥平面PAD,EH⊂平面PAD,∴EF⊥EH于就是S△EFH=EF×EH=2=S△EFG,∵平面EFG⊥平面PAD,平面EFG∩平面PAD=EH,△EHD就是正三角形∴点D到平面EFG得距离等于正△EHD得高,即为,…(10分)因此,三棱锥M﹣EFG得体积V M﹣EFG=V D﹣EFG=×S△EFG×=.…(12分)【变式5】如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,AD=AC=DE=2AB=2,且F就是CD得中点,AF=.(1)求证:AF∥平面BCE;(2)求证:平面BCE⊥平面CDE;(3)求此多面体得体积.【解答】证明:(1)取CE中点P,连接FP、BP,∵PF∥DE,且FP=1又AB∥DE,且AB=1,∴AB∥FP,且AB=FP,∴ABPF为平行四边形,∴AF∥BP.(2分)又∵AF⊄平面BCE,BP⊂平面BCE,∴AF∥平面BCE(4分)(2)证明:∵AD=AC,F就是CD得中点,.所以△ACD为正三角形,∴AF⊥CD∵AB⊥平面ACD,DE∥AB,∴DE⊥平面ACD,又AF⊂平面ACD,∴DE⊥AF、又AF⊥CD,CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE、又BP∥AF,∴BP⊥平面CDE又∵BP平面BCE, ∴平面BCE⊥平面CDE、(3)此多面体就是以C为顶点,以四边形ABED为底边得四棱锥,等边三角形AD边上得高就就是四棱锥得高(12分)【变式6】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1得侧面AA1B1B为正方形,侧面BB1C1C为菱形,∠CBB1=60°,AB⊥B1C.(I)求证:平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;(II)若AB=2,求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积.【解答】(Ⅰ)证明:由侧面AA1B1B为正方形,知AB⊥BB1.又∵AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,∴AB⊥平面BB1C1C,又∵AB⊂平面AA1B1B,∴平面AA1B1B⊥BB1C1C.(Ⅱ)由题意,CB=CB1,设O就是BB1得中点,连接CO,则CO⊥BB1.由(Ⅰ)知,CO⊥平面AB1B1A,且CO=BC=AB=.连接AB1,则=•CO=×AB2•CO=.∵====,∴V三棱柱=2.【变式7】如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,PD⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2a,DA=,E为BC中点.(1)求证:平面PBC⊥平面PDE;(2)线段PC上就是否存在一点F,使PA∥平面BDF？若有,请找出具体位置,并进行证明;若无,请分析说明理由.【解答】(1)证明:连结BD,∠BAD=90°,;∴BD=DC=2a,E为BC中点,∴BC⊥DE;又PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD;∴BC⊥PD,DE∩PD=D;∴BC⊥平面PDE;∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PDE;(2)如上图,连结AC,交BD于O点,则:△AOB∽△COD;∵DC=2AB;∴;∴;∴在PC上取F,使;连接OF,则OF∥PA,而OF⊂平面BDF,PA⊄平面BDF;∴PA∥平面BDF.题型三:面面垂直性质应用例3、如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD就是∠DAB=60°且边长为a得菱形,侧面PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD边得中点、(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB、【变式1】如图,已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD就是边长为4得正方形,△PAD就是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别就是PD,PC,BC得中点.(1)求证:平面EFG⊥平面PAD;(2)若M就是线段CD上一点,求三棱锥M﹣EFG得体积.【解答】(1)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,CD⊥AD,∴CD ⊥平面PAD。