( ) 1. 关于 x 的方程 m2 −1 x2 + mx + n = 0 是一元二次方程的条件为（ ）
A．m≠1 B．m≠﹣1
C．m≠1 或 m≠﹣1 D．m≠1 且 m≠﹣1
2. 关于 x 的方程 (a −1)x2 + a + 1 x + 1 = 0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是
。
3. 关于 x 的一元二次方程 (n − 3)x2 + 3x + (n − 3)(n − 2) = 0 的常数项为 0，则 n 的值为________。
B．4，7
C．4，﹣3
D．4x2，﹣3x
2. 把一元二次方程 (1− x)(2 − x) = 3 − x2 化成一般形式 ax2 + bx + c = 0(a 0) 其中 a、b、c 分别为
A．2、3、﹣1
B．2、﹣3、﹣1 C．2、﹣3、1
D．2、3、1
3. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数以及常数项。
A．m=2
B．m≠2
C．m=±2
D．m=﹣2
3. 已知关于 x 的方程 x2 + kx − 2 = 0 的一个解与方程 x +1 = 3 的解相同。则 k =
。
x −1
4. 已知关于 x 的一元二次方程 (m −1) x2 + 2x + m2 −1 = 0 有一个根是 0，则 m =
。
◎练习
1. 若 0 是关于 x 的一元二次方程 (m −1)x2 + 5x + (m −1)(m − 2) = 0 的一根，则 m 的值为（ ）
题型四：求一元二次方程中的字母参数
1. 需要同时满足：① a 0 ；②二次项次数为 2。
2. 当某一项为零时，需要满足：①该项为零；② a 0 。
◎例题
1. 若（k﹣1）x²﹣2kx﹣1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 的取值范围是（ ）
A．k≠﹣1
B．k≠1
C．k≠0
D．k≥1
2.关于 x 的一元二次方程 (m −1)x2 + 2x + (m −1)(m − 4) = 0 常数项为 0，则 m 值等于（ ）
（3）若一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)有一个根 x=0，则 c=0；反之也成立，若 c=0，则一 元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)必有一根为 0.
5. 对于一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的解的估算，当某个 x 的取值使代数式 ax²+bx+c 的 值等于 0 或接近于 0 时，这个 x 的值就是一元二次方程的近似解。
2. 一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c = 0(a 0) ，其中 ax²是二次项，a 是二次项系数；bx
是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
题型一：根据定义直接判断一个方程是否是一元二次方程
◎例题
1. 下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1） 3x - 4 = 0 x
（4） 9x2 − 6x = 0
（2）x（x + 10） = 1200. 1 / 27
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
x² – 64 = 0；
x² + 10x – 1200 = 0.
上述两个方程有什么共同特点？
(1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数是 2； (3)整式方程．
【新知讲解】 ※知识点一：一元二次方程的定义与一般形式 1. 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方 程，叫做一元二次方程．
（2） (x −1)2 + y2 = 2
（3） 3(x +1)2 = 2(x +1)
（4） ax2 + bx + c = 0
（5） x2 + 2x = x2 +1
（6） (x +1)(x −1) = x2
◎练习 1. 下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）4 (x −1)(x + 2) = 5 （2） (x − 2)(x + 5) = 0
◎例题
1. 方程 2x2 = 3(x − 6) 化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，3，-6
B．2，-3，18
C．2，-3，6
D．2，3，6
2. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数 项。
（1）3x²+2=5x
（2）4x²﹣5x=10
4.一元二次方程根的重要结论
（1）若 a+b+c=0,则一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)必有一根 x=1；反之也成立，即若 x=1 是 一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的一个根，则 a+b+c=0.
（2）若 a-b+c=0,则一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)必有一根 x=-1；反之也成立，即若 x=-1 是一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的一个根，则 a-b+c=0.
2. 下列哪组数是方程 x²+x﹣6=0 的根是（
A.﹣3 和 2
B．﹣3 和﹣2
） C．﹣2 和 3
3. 方程 (a − b)x2 + (b − c)x + c − a = 0 的一个根为（ ）
A −1
B1
C b−c
D．2 和 3 D −a
题型二：已知某一根求字母参数 1. 已知某一根，常用代入法，来解未知字母的值； 2. 遇到求值的过程中，对字母讨论时，保证 a 0 。
（1）当 m 为何值时，此方程是一元一次方程； （2）当 m 为何值时，此方程是一元二次方程。
7. 若方程 (m − 2)x m −1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，
（1）求 m 的值； （2）写出关于 x 的一元二次方程。
§知识小结
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
题型一：判定一元二次方程的解
代入验证：左边=右边，即可。 ◎例题
1. 方程 x 2 + x − 6 = 0 的解为（
）
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A. x1 = −3，x2 = 2
B. x1 = 3，x2 = −2 C. x1 = 3，x2 = −3
2. 关于 x 的方程 (k + 2)x2 − kx − 2 = 0 必有一个根为（ ）
x² = 64.
（2）某小区计划在楼间空地建造一个面积为 120m²的长方形绿地,且长比宽多 10m,那么这个 长方形绿地的宽为多少 m？
解：设长方形绿地的宽为 x m,则长为（x+10）m.
x（x+10） = 120.
通过类比一元一次方程一般形式（ax + b = 0）,对下面所得方程进行整理.
（1） x² = 64；
◎例题 1. 关于 x 的一元二次方程 (m −1)x2 + x + m2 −1 = 0 有一根为 0，则 m 的值为（ ）
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A． 1
B． －1
C． 1 或－1
D． 1 2
2. 当 m 为何值时，关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x²+x+m²﹣4=0 有一个根是 0（ ）
3. 理解一元二次方程根的概念.
重点：一元二次方程的概念、一般形式及根
重、难点 难点：正确理解一般式中的“项”及“系数”
授课时长 建议授课时长 2 小时 【课程导入】
教学内容
根据下面的问题,设一个未知数,列出方程,不需解方程.
（1）：若一个正方形花坛的面积为 64m²,则正方形的边长为多少 m？
解：设正方形的边长为 x m.
（3）3x²﹣5=0； （4）4x²+3x﹣2=0； （5）6x²﹣x=0．
题型三：判定一个方式是否是一元二次方程 a≠0 是保证一元二次方程有意义的条件，判定一个方程是不是一个一元二次方程需要先化 为一般形式再根据三个条件判定； ◎例题 下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1） x2 (x +1) = 0
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第 21 章第 1 节 一元二次方程的相关概念
辅导科目
数学
年级
九年级
教材版本
人教版
讲义类型
拔高版（适用于考试得分率高于 80%的学员） 1．理解一元二次方程的概念，能判断一个方程是否是一元二次方程；
教学目的 2．掌握一元二次方程的一般形式，正确认识一元二次方程的项和系数；
4. 若一元二次方程 (m - 3)x2 + 2x + m2 = 9 的常数项为 0，则 m 的值是 ________。
( ) 5. 已知关于 x 的一元二次方程 (a − 2)x2 + a2 − 4 x + 8 = 0 不含一次项，则 a 的值是______。
6. 已知关于 x 的方程 (2m −1)x2 − mx + m + 2 = 0
A． x = 1
B． x = −1
C． x = 2
D. x1 = 2，x2 = −2 D． x = −2
◎练习
1. 一元二次方程 x2 + 3x − 4 = 0 的解是 （
）
A． x1 = 1 ， x2 = −4