零次：最少1个；一次多项式：最少3个；二次多项式：最少6个
4.分区拟合 见下图
• 平面的一般方程： • Ax+By+Cz+D=0
作业
• 1.高程拟合 • 点分布的情况高的转换
四、常用的高程拟合方法 目前，由于区域似大地水准面精化并没有普及，因此在 实际的工程应用中，几何的高程拟合方法仍然广泛的应用。
多项式拟合法几种模型
1. 一次多项式模型 （1）平面坐标函数形式
a0 a1 x a2 y (4 1)
式（4-1）中， ζ为某点的高程异常； x,y为该点 的平面直角坐标，a0、a1、a2为待定转换参数。
GPS高程与正常高的转换
五、多项式拟合实施步骤 （2）二次多项式拟合实施步骤
因为
ˆ1 1 v1 ˆ2 2 v 2
ˆm m v m
GPS高程与正常高的转换
五、多项式拟合实施步骤 （2）二次多项式拟合实施步骤
所以
2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v2 a0 x2 a1 y2 a2 x2 a3 y2 a4 x2 y2 a5 2 .......... .. 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ vm a0 xm a1 ym a2 xm a3 ym a4 xm ym a5 m ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v1 a0 x1a1 y1a2 x12 a3 y12 a4 x1 y1a5 1
GPS高程与正常高的转换
五、多项式拟合实施步骤 （1）一次多项式拟合实施步骤 当重合点多余3个，设有n个时，我们则可以按照平差的方法求解。 根据平差原理，此问题的必要观测数t=3，观测数为n。 如果按照间接平差法求解，则应设3个独立的参数，然后，列出n个 误差方程，求出参数。 就设a0、a1、a2为参数，然后列出如下形式的平差值方程：
ˆ ˆ ˆ ˆ 1 a0 x1a1 y1a2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 a0 x2 a1 y2 a2 ............ ˆ ˆ ˆ ˆ n a0 xn a1 yn a2
GPS高程与正常高的转换
五、多项式拟合实施步骤 （1）一次多项式拟合实施步骤 由
GPS高程与正常高的转换
四、常用的几种高程拟合方法
多项式拟合法几种模型
1. 一次多项式模型 （2）经纬度函数形式 式中 ：B、L为某点的经纬度 其它符号见下式表示。
a0 a1dB a2 dL
或
a0 a1B a2 L
dB B B0 , dL L L0
B 其中：B0 n
GPS高程与正常高的转换
二、高程系统
4. 大地水准面差距
大地水准面到椭球面的距离，称为大地水准 面差距，记为hg （或N） 。
5. 高程异常
似大地水准面到椭球面的距离，称为高程异 常，记为ζ 。
6. 三个高程系统之间的转换关系
如图，可以看出 H=Hg+ hg H= Hγ + ζ
GPS高程与正常高的转换
GPS高程与正常高的转换
三、GPS高程的实现方法
4. 区域似大地水准面精化法
高精度、高分辨率大地水准面的确定，其主 要目的是：用GPS技术结合区域内的地面重力资 料、水准资料、高分辨率的地形数据以及最新的 重力场模型，精确研究并确定区域似大地水准面， 以求取高精度的高程异常，从根本上解决GPS技 术无法直接提供正常高的问题。
GPS高程与正常高的转换
三、GPS高程的实现方法
2. 地球模型法
地球模型法本质上是一种数字化的等值线图， 目 前 国 际 上 较 长 采 用 的 地 球 模 型 有 OSU91A 、 EGM96等。不过这些模型均不适合于我国
3. 高程拟合法
高程拟合法就是利用在范围不大的区域中， 高程异常具有一定得相关性这一原理，采用数学 方法求解正高、正常高或高程异常。
GPS高程与正常高的转换
五、多项式拟合实施步骤 （2）二次多项式拟合实施步骤
1 1 B 1
x1 x2 xm
y1 y2 ym
x12
2 x2
y12
2 y2
x1 y1 x2 y2 xm ym

2 xm 2 ym

V v1
ˆ ˆ x a0
2 2
a0 a1dB a2dL a3 (dB)2 a4 (dL)2 a5dBdL (4 6)
GPS高程与正常高的转换
五、多项式拟合实施步骤 （1）一次多项式拟合实施步骤 根据一次多项式数学模型
a0 a1 x a2 y
如果求出a0 、a1 、a2 三个系数，就可以根据点的位置（x，y）求 出点的高程异常，进而求出点的正常高
GPS高程与正常高的转换
二、高程系统 测量中常用的高程系统有：大地高系统、正高系统、 正常高系统。
1.大地高系统
大地高系统是以地球椭球面为基准面的高程系统。 大地高的定义是：由地面点沿通过该点的椭球面法 线到椭球面的距离。也称为椭球高，一般用符号H表示。 大地高是一个纯几何量，不具有物理意义。同一个 点，在不同的基准下，具有不同的大地高。利用GPS， 可以测定地面点的WGS-84中的大地高。
ˆi i vi
得到如下误差方程
ˆ ˆ ˆ v1 a0 x1a1 y1a2 1 ˆ ˆ ˆ v2 a0 x2 a1 y2 a2 1 ............ ˆ ˆ ˆ vn a0 xn a1 yn a2 1
GPS高程与正常高的转换
T T
1
GPS高程与正常高的转换
五、高程拟合中的有关问题
1.适用范围
适用于高程变化较为平缓的地区（如平原地区）。
2.选择合适的高程异常已知点
所谓高程异常已知点的高程异常值，一般通过水准测量测定正 常高、通过GPS测定大地高。 重合点尽量多，均匀分布，最好将整个GPS网包围起来。
3.高程异常已知点的数量
y1 1 y2 2 l ，1 n, yn n
则可得到误差方程：
ˆ V BX l
设权阵为单位阵P=E，则得到法方程的解
ˆ BT PBX BT Pl 0
ˆ ( BT PB)1 BT Pl X
L L0 n
GPS高程与正常高的转换
四、常用的几种高程拟合方法
多项式拟合法几种模型
2. 二次多项式模型 （1）平面坐标函数形式
a0 a1x a2 y a3 x2 a4 y 2 a5 xy (4 4)
（2）经纬度函数形式
a0 a1B a2 L a3 B a4 L a5 BL (4 5)
ˆ a1 v2
ˆ a2
L 1
vm
ˆ a3
ˆ a4
T
ˆ a5
T
T
2
m
GPS高程与正常高的转换
五、多项式拟合实施步骤 （2）二次多项式拟合实施步骤
ˆ V Bx L
设权阵为P（可根据水准高程或大地高的精度确 定），则根据最小二乘原理，可得参数的解
ˆ x ( B PB) B Pl
GPS高程与正常高的转换
西安科技大学测绘学院 史经俭
GPS高程与正常高的转换
一、问题的产生 GPS能够提供地面点精确的三维坐标值（X， Y，Z和L，B，H）。其精度达10-7量级。 其高程信息是依赖于椭球面的，即是大地高。 而我国使用的高程是基于似大地水准面的正常 高。 为充分利用GPS的高程信息，研究利用GPS测 出的地面点的大地高求其正常高，成为GPS应用的 一个重要方面，也属于广义的坐标转换范畴。
五、多项式拟合实施步骤 （1）一次多项式拟合实施步骤 令
v1 1 ˆ a0 v2 ˆ 1 ˆ B V ， a1 ， X n ,1 3,1 n ,3 ˆ a2 v 1 n
x1 x2 xn
GPS高程与正常高的转换
五、多项式拟合实施步骤 （2）二次多项式拟合实施步骤
若存在m个公共点，则可列出m个平差值方程：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 a0 x1a1 y1a2 x12 a3 y12 a4 x1 y1a5
2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 a0 x2 a1 y2 a2 x2 a3 y2 a4 x2 y2 a5 .......... .. 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆm a0 xm a1 ym a2 xm a3 ym a4 xm ym a5
三、GPS高程的实现方法 从前面的关系式可以看出，为;了由GPS高程 （大地高）确定出正高或正常高，需要有大地水 准面差距或高程异常数据，方可达到目的。获取 两者的方法有以下几种。
1. 等值线法
可以从全国高程异常图和大地水准面差距图 上通过内插法查求出点的hg（或ζ ） 。从而可得 Hg=H- hg；Hγ = H – ζ但要注意以下问题： （1）等值线图所适用的坐标系统，在求解正常高 或正高时，要采用相应的大地高数据。 （2）精度在很大程度上取决于等值线图的精度。
H常 H大
因此，如何求出a0、a1、a2是我们要解决的问题。
我们知道，如果有3个GPS/水准重合点，我们就可以得到3个点的 高程异常，从而列出以下的3个方程，解出3个系数，得到具体的求高 程异常的公式。
1 a0 x1a1 y1a2 a0 x1a1 y1a2 1 0 2 a0 x2 a1 y2 a2 ，或a0 x2 a1 y2 a2 2 0 a x a y a 0 3 a0 x3a1 y3a2 0 3 1 3 2 3
GPS高程与正常高的转换