找规律程序运算定义新运
算
Modified by JEEP on December 26th, 2020.
第五讲
找规律、程序运算、定义新运算
板块一 数列、数表找规律
一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。
数列规律：
【例1】观察下列一组数：12
，34
，56
，78
，…，它们是按一定规律排列的。
那么这一组数
的第k 个数是_______。
（k 为正整数）
【例2】找规律，并按规律填上第五个数：35792
4
816
--，，，， ，第n 个数为： 。
（n 为正整数）
【例3】有一列数12-，25，310-
，4
17
，…，那么第7个数是 。
第n 个数为
（n 为正整数）。
【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正
整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。
【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11
4b a
，…（0ab ≠），其中第7个式子
是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。
【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。
【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95
，
1612，2521，36
32
，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门。
请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数
为 。
【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19
后面的数应为 。
【例9】探索规律：
观察下面算式，解答问题：
21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________；
②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________；
③请你用上述规律计算：10310510720032005+++
++
数列规律：
【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当
7a =时，b = 。
【例11】观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a = ， 2
a b
+= 。
例题精讲
1 2 2 3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5 · · · · · · · ·
××表一 表二 表三
【例12】如下图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字。
电子跳蚤每跳一次，可以从一
个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 。
【例13】将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置
是第 行第 列。
板块二 程序运算
【例14】下图是一个简单的运算程序。
若输入x 的值为2-，则输出的
数值
为 。
【例15】如右图是一个流程图，图中“结束”处
的计算结果是 。
【例16】下图所示是计算机程序计算，若开始
输入1x =-，则最后输出的结果是__ _。
【例17】如图所示的运
算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…，第2009次输出的结果为____ _____。
板块三 定义新运算
定义新运算:将新的运算法则转化为旧的运算法则进行计算
【例18】现规定一种运算：a *b ＝ab ＋a －b ，其中a ，b 为有理数，则3*5的值为( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 【例19】用“
×
”定义新运算：对于任a ，b ，都有a
×
2b a b =-。
例如，4×
27479=-=，那么5
×
3= ；
当m 为有理数时，m （1- 2）= 。
【例20】①定义()5f x x =+，((2))f f = 。
【例21】若规定一种新运算为()()111a b ab a b A ⊗=
+
-+，如果1
212
⊗=-，那么 20012002⊗=_______。
【例22】有一个运算程序，可以使a b n ⊕=(n 为常数)时，得()11a b n +⊕=+，()12a b n ⊕+=-。
现在
已知112⊕=，那么20092009⊕=_______。
【例23】有一列数，按一定规律排成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的和是3072，则这
三个数中最小的数是________。
测
试 题
1．在数列1，
12，22，13，23，3
3
，…，中，第100个数是___ 。
2．正整数按图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 。
3．按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的不同的值分别是： 。
4．定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1
112
=--，1-的差倒数是
()11112=--。
已知11
3
a =-，
① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = 。
5．我国宋朝数学家杨辉在他的着作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b + （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律。
例如：
0()1a b +=，它只有一项，系数为1；
1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1系数和为2；
222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为
4；
33223()33a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，
系数和为8； ……
根据以上规律，解答下列问题：
⑴4()a b +展开式共有 项，系数分别为 ； ⑵()n a b +展开式共有 项，系数和为 。
答 案
1．
914 2．420
3．4
5
，5，26，131
第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列
第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 11 ... 9 8 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)
24
23
22
21
…
……
..............................
1
332
1
11111
4．①3
4
；② 4
5．⑴5；1，4，6，4，1；⑵1
n ，2n。