（5）用参数方程求解。答案好像是
二、（15分）设函数 在 上具有二阶导数，并且
且存在一点 ，使得 。
证明：方程 在 恰有两个实根。
解：（简要过程）
二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。
将f(x)二阶泰勒展开
因为二阶倒数大于0，所以
，
证明完成。
则有
（2）令
由（1）知 ，代入可得
上式将两边看做y的，方向为顺时针
（最后一步曲线积分略去，不知答案对不对）
（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
由轮换对称性，
（2）
当 时，
当 时，
六、(15分)设函数 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 上，曲线积分 的值为常数。
（1）设 为正向闭曲线 证明
（2）求函数 ；
（3）设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 。
解：
（1）L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段 ， ，再从A，B作一曲线 ，使之包围原点。
三、（15分）设函数 由参数方程 所确定，其中 具有二阶导数，曲线 与 在 出相切，求函数 。
解：（这儿少了一个条件 ）由 与 在 出相切得
，
=。。。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设 证明：
（1）当 时，级数 收敛；
（2）当 且 时，级数 发散。
解：
（1） >0, 单调递增
当 收敛时， ，而 收敛，所以 收敛；
第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案（非数学类）
(150分钟)
一、（25分，每小题5分）
（1）设 其中 求
（2）求 。
（3）设 ，求 。
（4）设函数 有二阶连续导数， ，求 。
（5）求直线 与直线 的距离。
解：（1） =
= = =
(2)
令x=1/t,则
原式=
（3）
（4）略（不难，难得写）
当 发散时，
所以，
而 ，收敛于k。
所以， 收敛。
（2）
所以 发散，所以存在 ，使得
于是，
依此类推，可得存在
使得 成立
所以
当 时，
所以 发散
五、（15分）设 是过原点、方向为 ，（其中 的直线，均匀椭球
，其中（ 密度为1）绕 旋转。
（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向 的最大值和最小值。
解：