理科数学第I卷（选择题，共60分）、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1•设全集U R，集合A x x 2 ,B x x 1 ,则O J(AUB)A. 2,1B.( 2, 1)C.,2 U 1,D.( 2,1)2在复平面内对应的点位于2.复数z ----------1 iA.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限3•空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差•某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图•则下列说法错误.的是A. 该地区在12月2日空气质量最好B. 该地区在12月24日空气质量最差C. 该地区从12月7日到12月12日AQI持续增大D. 该地区的空气质量指数AQI与日期成负相关4.已知锐角ABC的三个内角分别为代B,C,则“ sinA>sinB”是“ tanA>tanB ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. “更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k的值分别为4, 6, 1,则输出的k的值为A.2B.3C.46.若关于2x的不等式x2ax 1 0在围为A.(0,)B.1,C. 1,1D. 0,D.50,+ 上恒成立，则实数a的取值范6若关于x 的不等式x 2 2ax 1 0在0, 上恒成立，则实数a 的取值范围为8•已知sin(6\ 3 (。

2)，则)5, cos 的值为4.3 34 3 34 3.33、3 4A.B.-c.-D.F1010 10109 .在三棱锥PABC 中，已知PA底面 ABC , BAC120 ,PA AB AC 2.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A.10,3B.18C.20D.9,3正确的是(A)(0,)(B) 1,(C) 1,1(D) 0,2x7.如图，已知双曲线 E :飞a1( a 0,b 0)，长方形 ABCD 的顶点A ，5B 分别为双曲线E 的左，右焦点，且点C,D 在双曲线E 上•若AB 6,BC ㊁， 则此双曲线的离心率为B.8.如图已知双曲线2b 7 1(a b0,b0),长方形ABCD 的顶点A, B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C, D 在双曲线 E 上,若AB 6, BC5,则双曲线的离心率为 210.已知定义在 R 上的奇函数f (x)满足 f (x 2) f (x) 0,且当 x0,1时，f(x) Iog 2(x 1).则下列不等式A. f log 2 7B.f log 2 7 f 6 f 5 C. f 5 f log 2 7f 6 D.f 5 f 6 f log 2 711.设函数 f (x) sin(2x)，若 x 1x 23,且f(xj f(X 2) 0,则x 2 X 」的取值范围为第II 卷（非选择题，共90 分）、填空题：本大题共 4道小题，每小题5分，共20分.513.（x+2y ）的展开式中的第三项系数为 _________________________x y 114.若实数x, y 满足线性约束条件y x ，则x 2y 的最大值为 ___________________ 2x y 4ABD EDB 90 , C 是 BD 上一点， 60, EAC 45，则线段DE 的长度为16.在长方体ABCD A 1B1GD 1中，已知底面 ABCD 为正方形，P 为A^ 的中点，AD 2, AA 1 43，点Q 是 正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且QC J2QP ，则线段BQ 的长度的最大值为 ___________________ .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤C4D .(43xe x 12.已知关于x 的方程—xe x em= 0有三个不相等的实数根x j ,X 2,X 3,且人 0 X 2 < X 3，其中 m R ,e 2.71828为自然对数的底数•则（j 1）2（*e 1 e 2畤1）的值为A.eB. 1C. 1 mD. 1 m15.如图，在直角梯形 ABDE 中，已知AB 3-3, ACB 15 , ECD17. （本小题满分12分）已知等差数列a n的前n项和为S n，a2 3,S4 16, n N（1）求数列a n的通项公式;（2）设b n 2n a n，求数列b n的前n项和T n.18. （本小题满分12分）某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量的该企业的日用水量的统计数据•从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：吨）.若用水量不低于95 （吨），则称这一天的用水量超标.（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天是用水量超标的概率；（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来 3 天中用水量超标的天数•记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列和数学期望•(2)证明直线l过定点，并求出该定点的坐标3 13 5 6 7 ^9 5 7 S 919. （本小题满分12分）如图①，在边长为5的菱形ABCD中，AC 6 •现沿对角线AC把ADC翻折到APC的位置得到四面体ABC，如图②所示•已知PB 4,2.（1）求证：平面PAC 平面ABC ；（2）若Q是线段AP上的点，且uuur 1 uuuAQ= — AP，求二面角Q BC A的余弦值.3图①图②20. （本小题满分12分）2 2 已知椭圆C :务—ab21(a b0）的右焦点F（.3,0），长半轴与短半轴之比等于 2.(1)求椭圆C的标准方程;21. (本小题满分12 分)已知函数f(x) e x ，其中e 2.71828 为自然对数的底数(1)若曲线y f(x)在点P(X o ，e Xo )处的切线方程为y kx b ，求k b 的最小值;(2)当常数m 2,+时，已知函数g(x) (x 1) f (x) mx 2 2在(0,)上有两个零点 为恥 捲 x ?证明：In 4 x 2 x m . e请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分•作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. (本小题满分10分)选修4-4 :极坐标与参数方程23. (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲已知函数 f (x) x 2 k x 1, k R .(1) 当k 1时，若不等式f(x) 4的解集为 x | x 1 < x < x ,，求x 1 x 2的值; (2) 若关于x 的不等式f(x) k 当x R 时恒成立，求k 的最大值.数学（理科）参考答案及评分意见第I 卷(选择题，共60分)一.选择题：(每小题5分，共60分)1.B ；2.D ；3.D ；4.C ;5.C ；6.B ；7.B ；8.A ；9.C ; 10.C ; 11.B ； 12.B.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为1_t2 （t 为参数） 仝t24sin.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正.2sin(1) 写出直线l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2) 已知点M 的直角坐标为(2,2).若直线I 与曲线C 相交于不同的两点A,B ，求MA MB 的值.第II卷(非选择题，共90分)二•填空题：(每小题5分，共20分)13.40 ；14.12 ；15.6 ；16.6.三•解答题：(共70分)17. 解：(1)设数列a n的公差为d .Q a2 3, S4 16，a d 3,4a1 6d 16.解得d 2,a1 1. .......... 4分a n 2 n 1. .......... 6 分(2)由题意，b n (2n 1) 2n.T n 1 21 3 22(2n 3) 2n 1(2n 1) 2n.2T n 1 22(2n 3) 2n(2n 1) 2n 1.由-，可得T n 1 212 (22232n) (2n 1) 2n 1. ........ 9 分T n 2 23(2n 11) (2n 1) 2n 1 6 ( 2n 3) 2n 1. ........ 1 1 分T n 6 (2n 3) 2n 1. ........ 12分18. 解：（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天是用水量超标”为事件A.（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知其概率为随机变量X 表示未来三天用水量超标的天数，• X 的取值分别为：0,1,2,3. 易知 X ：B（3,3），P （X k ）C 3k （3）k （3）3k ,k 0,1,2,3.4,P(X 2) -,P(X 3)—9 9 27X 0123 P 8421 27 992719. 解：（1）取AC 的中点O ,连接PO,BO 得到PBO .则 P(A) CC 2 C 3168 42C12C ；2 220 55•••随机变量 X 的分布列为则 P(X 0)27，P(X 1)数学期望 1E(X) 3 31. 12分Q DC 5,AC6, OC 3, PO OB 4,Q PB 4 2,P O 2OB 2 PB 2PO OB.Q BO I AC O, PO 平面ABCQ PO平面1PAC，平面ABC 平面PAC(2)Q! AB BC ， BO AC.uuu imr uuu以O 为坐标原点，OB,OC,OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的向建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示.则 B(4,0,0),C(0,3,0), P(0,0,4), A(0, 3,0).易知OB,OC,OP 两两相互垂直.Q ABCD 是菱形， PA PC ，PO AC.正方设点 Q(x,y,z).uur 由AQ1 JJJ —AP,得 Q(0, 2,4). ......... 6分3 3UJU JJJ 4BC (4,3,0), BQ (4, 2,—).3设n i 化，％,弓)为平面BCQ 的一个法向量.umrn i BC 0 由 uur n 1 BQ 0取乙= 15,则 n 1(3,4,15).取平面ABC 的一个法向量n 2 (0,0,1).Qcos( n^n ?)n 1 n 215 3^0 ......... 11分nj n 2 J 3 42 15210 ，二面角Q BC A 的余弦值为 3^010 .......... 12分20.解：(1) Qc 代2, a 2 b 2 c 2,a 2,b 1.椭圆的标准方程为2x2匸y1.......... 4分(2)易知当直线I 的斜率不存在时，不合题意.设直线l 的方程为y kx m(m 1)，点M (为，yj N(x 2, y 2).y kx m2 22联立 22，消去 y 可得(4k 2 1)x 2 8kmx 4m 2 40.x 4y 44k 2 1 m 2 00 %3二 4.解得4 z 1=04 3 Y 1 =x1x28km4 k 2 1 x 1x24 m 2 4 4k 2 14x 1 3y 14x i 2y i由MN = 2 BH ，可知点B 在以MN 为直径的圆上UUUT UUTQ BM BN (x 1, kx 1 m 1) (x 2, kx 2 m 1)(k 2 1)x 1x 2 k(m 1)( x 1 x 2) (m 1)2 0,3•••直线I 的方程为y kx 5.3故直线1经过定点，且该定点的坐标为（0,）. …521.解：（1）曲线在点P （x 0,e x °）处的切线为y e'x x 0e" e x .k e^b x 0e x0 e x0. k b x 0e x0.设 H(x) xe x .由 H (x) (x 1)e x 0,解得 x 1.当x 时，H (x) 0 H(x)单调递增;当x 时，H (x) 0 ,••• H (x)单调递减.H （x ）的极小值（也是最小值）为 H （ 1） -I• k b 的最小值为 -.e(2)当 x 0 时，由 g (x) x(e x 2m) 0,解得 x In 2m.当 x In2m 时，g (x) 0 , • g(x)在(In2m,)上单调递增；当 0 x In2m 时，g (x) 0 , • g(x)在(0,ln 2m)上单调递减.• g(x)的极小值为g(ln 2m). BM BN. uuur UULT BM BN 0.(k 2 k(m 1) 8 km4k 2 1 (m 1)2 0.2整理，得5m 2m 3 0.解得m 1 （舍去）12分e2■/ g(1) 2 m 0 ,x In 2m In 4 1, g(ln2m) 0. 又Q g(0) 1 0,g(i) 2 0, X i (0,1),使得 g(xj 0. Q x 2 In 2m In 4, X 2 X i In 4 1 In-. e m 3 1)e m g (m) m me 3m 2 m(e m 1 3m). 设 G(m) e m 3m, m 2. Q G (m) m e 3 0, G(m)在(2, ）上单调递增. G(m) G(2) 2 e 6 0. g(m) 0恒成立. g(m) g(2) 2 e 6 0. X 2 (In 2m,m),使得 g(X 2) m x 2 m x 故In 4 x 2 % m 成立. e x 2 1t 解：由 2 _ ，消去参数 t 可得 y , 3(x 2) 2 ,3 + y 2 t 2 •••直线I 的普通方程为 ,3x y 2 2.3 0. 亠 ・ 2 2 .2 ■ 2 Q sin 4si n sin 4 sin . 2 2 2 Q sin y , x y , g(m) (m 2, m 2. 0. 22. 当x m 时, 故曲线C 的直角坐标方程为 x 2 4y. 12分 x 2 (2)将 丄t 2 2 -代入抛物线方程X 2 4y ，可得（2 1t)2 4(2 于"16 0.设点A, B 对应的参数分别为t 1,t 2.x 则 0,t i +t 2 8 3 8,讥 16,二 MAgMB |址2| 16.......... 10 分 23.解：(1)由题意，得x 2 x 14.5 (i) 当x 2时，原不等式即2x 5.二2 x2t t 3 (ii) 当x 时，原不等式即 2x 3. 3 x 1;(iii) 当 x 2时，原不等式即3 二1 x 2.3 5综上，原不等式的解集为 x | x ，即x 12 2x 1 x 2 1.(2)由题意，得x 2 k x 1 k.当x 2时,即不等式3k k 成立.k 0.(i) 当x 2或x 0时,Q x 1 1， 不等式|x 2| k |x 1 | k 恒成立.(ii )当2 x 1时,原不等式可化为 2 x kx k 2 x4 k .可得k 1 x 2x 2 k 3.(iii )当1 x 0时,原不等式可化为 2 x kx k 2k.可得k 1 —.k 3.2,x210分综上，可得0 k 3，即k的最大值为3.设不经过点B（0,1）的直线I与椭圆C相交于不同的两点M ,N若线段MN的中点H 满足MN = 2 BH，x。