专题13定积分与微积分基
本定理知识点
标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
考点13 定积分与微积分基本定理
一、定积分 1．曲边梯形的面积
（1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．
2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念
（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式
1
1
()()n
n
i i i i b a
f x f n
ξξ==-∆=∑
∑
；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d b
a
f x x ⎰，即()d b
a
f x x ⎰=1
lim ()n
i n i b a
f n
ξ→∞
=-∑
.
（2）在
()d b
a
f x x ⎰
中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做
被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质
（1）()()d d b
b
a a
kf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；
（2）[()()]d ()d ()d b
b b
a a
a
f x
g x x f x x g x x ±=±⎰
⎰⎰；
（3）
()d =()d +()d b
c b
a
a
c
f x x f x x f x x ⎰
⎰⎰(其中a <c <b )．
【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．
5．定积分的几何意义
（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分
b
a ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =
b (a ≠b )，y =0和
曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)． （2）一般情况下，定积分
b
a ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =
b 之间的曲边
梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)
定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：
设阴影部分面积为S ,则 （1）()d b
a S f x x =⎰
； （2）()d b
a
S f x x =-⎰；
（3）()()d d c
b a
c
S f x x f x x =
-⎰
⎰； （4）()()()()d d []d b b b
a
a
a
S f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.
二、微积分基本定理
一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么
()d b
a
f x x ⎰
=F (b )−F (a )．这个结论叫做
微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|b a
F x ，即
()d b
a
f x x ⎰
=()|b a F x =F (b )−F (a )．学.科*网
【注】常见的原函数与被积函数的关系
（1）d |(b
b a a
C x Cx C =⎰为常数)；
（2）11d |(1)1
b
n n b
a a
x x x n n +=
≠-+⎰； （3）sin d cos |b
b a a
x x x =-⎰；
（4）cos d sin |b
b a a
x x x =⎰；
（5）1
d ln |(0)b
b a a
x x b a x
=>>⎰
； （6）e d e |b
x x b a a
x =⎰；
（7）d |(0,1)ln x b
x
b
a a a a x a a a
=
>≠⎰； （8）3
22d |(0)3
b a a
x x x b a =>≥⎰
.
1．π
0cos d x x =⎰
A ．1
B ．2-
C ．0
D ．π
2．若()π40
2
sin cos d 2
x a x x -=-
⎰
，则实数a 等于 A ．1
B 2
C ．1-
D ．33．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22 B ．24 C ．2
D ．4
4．定义
a b ad bc c d
=-，如
121423234
=⨯-⨯=-，那么2
1
d 31
2
x x =⎰
A ．6
B ．3
C ．
3
2
D ．0
5．设实数2log 3a =，1
3
1
log 2
b =，π0
1
sin d c x x =⎰
，则 A ．b a c >> B ．b c a >> C ．a b c >>
D ．a c b >>
6．（2015年高考湖南卷）20
(1)d x x -=⎰ ．
7．（2015年高考天津卷）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．
8．（2015年高考福建卷）如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机
取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．。