第二章 行 列 式1. 求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3)9 8 7 6 5 4 3 2 1;解:1) 所求排列的逆序数为:()1011033110134782695=+++++++=τ，所以此排列为偶排列。

2) 所求排列的逆序数为:()1810345401217986354=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。

4) 所求排列的逆序数为:()()36219912345678987654321=-=+++++++=τ，所以此排列为偶排列。

2.选择i 与k 使1) 1274i 56k 9成偶排列； 2) 1i 25k 4897成奇排列。

解: 1) 当3,8==k i 时, 所求排列的逆序数为:()()12745691274856390041311010i k ττ==+++++++=， 故当3,8==k i 时的排列为偶排列.。

2)当6,3==k i 时, 所求排列的逆序数为:()()1254897132564897010110115i k ττ==+++++++=， 故当6,3==k i 时的排列为奇排列。

3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换。

解: 12345()()()2534125431214354,35,22,1−−→−−−→−−−→−。

4.决定排列()211 -n n 的逆序数,并讨论它的奇偶性。

解: 因为1与其它数构成1-n 个逆序,2与其它数构成2-n 个逆序, ……n n 与1-构成1个逆序,所以排列()211 -n n 的逆序数为 ()()()()112112212n n n n n n τ--=-+-+++=⎡⎤⎣⎦ 4,4142,43n k k n k k =+=++故当时，排列为偶排列；当时排列为奇排列。

5.如果排列n n x x x x 121- 的逆序数为k ,排列121x x x x n n -的逆序数是多少? 解: 因为比i x 大的数有i x n -个,所以在121x x x x n n -与n n x x x x 121- 这两个排列中,由i x 与比它的各数构成的逆序数的和为i x n -.因而,由i x 构成的逆序总数恰为 ()()21121-=-+++n n n 。

而排列n n x x x x 121- 的逆序数为k ,故排列121x x x x n n -的逆序数为()k n n --21。

6.在6阶行列式中,651456423123a a a a a a , 256651144332a a a a a a 这两项应带有 什么符号?解:()()()11)1(44312645234516=-=-++ττ，故项256651144332a a a a a a 前面的符号为正； ()()()()11146234165341562=-=-++ττ ，故项256651144332a a a a a a 带正号。

7．写出4阶行列式中所有带有负号并且因子23a 的项。

解： 所求的各项应是44322311a a a a - ， 41342312a a a a - ， 42312314a a a a - 。

8．按定义计算行列式：1）000001002001000 n n - 2）.000100002000010n n -3）nn 000000100200100- 。

解：1）所给行列式的展开式中只含有一个非零项11,21n n n a a a -， 它前面的符号应为()[]()2)1(21)1(11---=-n n n n τ ，所以原行列式=()()!121n n n --。

2）所给行列式的展开式中只含有一个非零项1,12312n n n a a a a - ， 它前面的符号应为()()()112311--=-n n τ ，所以原行列式=()n n 11--！。

3）所给行列式的展开式中只含有一个非零项nn n n n a a a a 1,12,21,1--- ， 它前面的符号应为()()()[]()()()221212111-----=-n n n n n τ ，所以原行列式=()()()n n n 2211---！。

9．由行列式定义证明：00000000002121215432154321=e e d d c c b b b b b a a a a a 解：行列式展开的一般项可表示为5432154321j j j j j a a a a a ，列标543j j j 只可以在1，2，3，4，5中取不同的值，故三个下标中至少有一个要取3，4，5列中之一数，从而任何一个展开式中至少要包含一个0元素，故所给行列式展开式中每一项的乘积必为0，因此原行列式值为0。

10． 由行列式定义计算()xxx x xx f 111123111212-=中4x 与3x 的系数，并说明理由。

解：含有4x 的展开项只能是44332211a a a a ，所以4x 的系数为2；同理，含有3x 的展开项只能是44332112a a a a ，所以3x 的系 数为-1。

11.由0111111111= ， 证明：奇偶排列各半。

证：由题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值等于1。

而行列式的值为0，这说明带正号与带负号的项的项数相等.根据行列式的定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下标排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二个下标所成排列为偶排列时， 该项前面所带的符号为正，否则为负号，所以，由带正号的项与带负号的项数相等即说明奇偶排列各半。

12．设 ()112111222211211121111-------=n n n n n n n a a a a a a a a a x x x x P，其中121,,,-n a a a 是互不相同的数。

1）由行列式定义，说明()x P 是一个1-n 次多项式； 2）由行列式性质，求()x P 的根。

解：1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x ，所以若行列式的第一行展开时，含有1-n x 的对应项的系数恰为()11+-n 乘一个范德蒙行列式212112323322222212111111-------n n n n n n n a a a a a a a a a a a a于是，由121,,,-n a a a 为互不相同的的数即知含有1-n x 的对应项的系数不为0，因而()x P 为一个1-n 次的多项式。

2） 若用121,,,-n a a a 分代替x 时，则由行列式的性质知所给行列式的值为0，即()0=i a P .故()x P 至少有1-n 个根121,,,-n a a a .又因为()x P 是一个1-n 次的多项式，所以121,,-n a a a 必是()x P 的全部根。

13．计算下面的行列式：1）6217213424435431014327427246- 2）yx yx x y x yy x y x+++ 3）31111311113111134）32142143143243215）y y x x-+-+1111111111111111 6）()()()()()()()()()()()()2222222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a解：1） 原式=621114431232711106217211000443543200032742710005==550132710114432941001621=-⨯2）原式=xyx y xyx y y x y xyx x y x yx y x y yx ---++=+++++001)(2222222 =()332x y -+3）原式=4886200002000020111163116131611361116=⨯==。

4） 原式=1110222031143211032110214101431043210------==20113022160004--=- 。

5）原式=2200000111111000000111111x x xx x x y yy y yy--==--6）原式=221222122212221252321252321252321252321222222222++++=++++++++++++d d c cb b a a d d d dc c c cb b b b a a a a =0 。

14.证明 2221112222221111112c b a c b a cb a b a ac c b b a a c c b b a a c cb =+++++++++。

证明：由行列式的性质，有左边=222222221111111b a a c c b a b a a c c b a b a a c cb a ++++++++++++ =22222211111c b c b a c b c b a cb cb a --++--++--++=2=222111c b a c b a cb a右边 。

15．算出下列行列式的全部代数余子式：1）300120012104121- 2）410123211- 解：1）611-=A ，012=A ，013=A ，014=A ，1221-=A ，622=A ，023=A ，024=A ，313233344142434415,6,3,0,7,0,1,2A A A A A A A A ==-=-=====- 。

2）3,12,7131211=-==A A A ，1,4,6232221-===A A A ， 5,5,5333231==-=A A A 。

16．计算下面的行列式：1）1234522131121111- 2）210112111311213111211----3）531212133215311210241210-- 4）2103122101102112321102110211--- 解：1）原式=210010051101111321041151101111---=------ =1100210051101111=-- 。

2）原式=1023*********341211023112122212113121--=---=433133311131641324121212321001---=-=-- 3）原式=1422115531041112121420211550310411121241210------=-------=-3860312*******866151396138661501396011212=--=--=3483163019-=4）原式=13621621011430410211022201281106242101101246211022201281---=---=172120303125022*******6216211143410221281--=--=-251270121333300108881221710017-=-= 17．计算下列n 阶行列式：1）xyx y x y x 00000000000000002）nn n n nnb a b a b a b a b a b a b a b a b a --------- 2122212121113）mx x x x m x x x x mx n nn ---212121 4）n2222322222222215）nn nn n ------110200000220000111321解：1）按第一列展开，原式=()n n n y x 11+-+。