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《观书有感》
朱熹,南宋著名理学家.
半亩方塘一鉴开, 天光云影共徘徊. 问渠那得清如许, 为有源头活水来.
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探究1 推导 (a b)2的展开式.
(a b)2 (a b)(a b)
aaabbabb a2 2ab b2
问： 合并同类项前的展开式中，共有几项？ 能利用分步乘法计数原理解释一下吗？ 每项的次数为几次？
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探究4：请分析 (a b)n的展开过程
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
项的形式： a n a n1b L a nk bk L bn
系数：
Cn0 Cn1
C
k n
Cnn
请利用组合的知识解释下 为什么a nk bk的系
数是
C
k n
呢？
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二项式定理: 一般地，对于nN*，有：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
直接利用二项式定理
(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。
(3) 求二项展开式中含x的几次方的项的问题。
利用通项
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1、巩固型作业： 课本36页 习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5
2、思维拓展型作业：（查阅相关资料）
（1）查阅有关杨辉一生的主要成就。
（2）探究二项式系数
Cn0，Cn1，Cn2 ， ，Cnn 有何性质.
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
问：展开式中第四项为？第四项的系数为？
第四项的二项式系数为？
那么对于 (2 x)5 的展开式呢？
析：(2 x)5 2 (x)5 11
C32
C33
有几项？ 每项的次数
分析a2b (a b)(a b)(a b)
为几次？ 展开式项的
(a b)(a b)(a b)
C31
排列方式如 何？（按照a
(a b)(a b)(a b)
的降次幂还 是升次幂排
列的？）
展开式：
(a
b)3
C30a 3
C31a 2b
C
2 3
ab2
C533 b 3
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
把各项的系数 Cnk , (k 0,1,2,3 n)叫做二项式系数
即（1）二项式系数: Cnk , (k 0,1,2,3 n)
式中 Cnk a nkbk 叫做二项展开式的通项， 为展开式的第k+1项，用 Tk 1 表示
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探究1 推导 (a b)2的展开式.
(a b)2 (a b)(a b)
aaabbabb
a2 2ab b2
项的形式： a 2
ab
问：合并同类项后的展 开式中，共有几项？
b2 每项的次数为几次？
项的系数： C20
C21
C2 展开式项的排列方式如 2 何？（按照a的降次幂
分析ab (a b)(a b) (a b)(a b)
探究3 仿照上述过程,推导 (a b)4的展开式.
(a b)2 C20a2 C21ab C22b2 (a b)3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3 (a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
(a b)n ?
杨辉，南宋时期杰
出的数学家和数学
教育家
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典例导航
例1 在(2x 1 )5的展开式中
x
（1）请写出展开式的通项。 （2）求展开式的第4项。 （3）请指出展开式的第4项的系数，二项式系数。
（4）求展开式中含 x3 的项。
注意：区别二项式系数与项的系数字系数的积 12
巩固练习
在(1 2x)7的展开式中
求第4项，并指出它的二项式系数和系数是 什么？
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课堂小结
1.二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
(1)二项式系数： Cnk , (k 0,1,2,3 n)
(2)二项展开式的通项： Tk 1 Cnk a nkbk
2．典型例题
方法
(1) 求形如 (a 的b)展n 开式问题。
这个公式叫做二项式定理，很显然二项式定理是研 究形如 (a b的)n展开式问题。
二项展开式的结构特征：
①项数： 共有n＋1项
②次数： 各项的次数都等于n，
③展开式中项的排列方式如何？
字母a按降幂排列，次数由n递减到0 ,
字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
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二项式定理: 一般地，对于nN*，有：
即（2）二项展开式的通项:
Tk 1 Cnk a nk bk
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二项式定理，又称牛顿二项式定理， 由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提 出． 二项式定理在组合理论、开高次方、 高阶等差数列求和，以及差分法中 都有广泛的应用．
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定理应用， 初步体验
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
还是升次幂排列的？）
C21
展开式：
(a b)2 C20a2 C21ab C22b2 4
探究2 推导 (a b)3的展开式.
(a b)3 (a b)(a b)(a b) 请用分步乘法计数原理
解释一下？问：合并同
项的形式：a 3
a2b
ab2
b 3 类项后的展 开式中，共
项的系数：C30 C31