摘要本题主要对教室内灯光的照度、光照的均匀度等对灯具安装、布局的合理性进行研究，本文针对本题所要解决的实际问题，提出了不同的模型或算法，过程如下:问题一 : 根据所给出教室的相关参数，建立适合的模型，计算出该教室的桌面所在的平面的平均照度，并与国家相关标准比较后分析总结.问题二:根据实例所给出的相关参数，建立适当的数学模型，求出相应模型的照度分布函数，计算出照度均匀度，并与国家规定标准比较分析和对计算结果的总结，如果最后结果与国家规定值差距不能忽略，就给出优化方案模型.问题三:黑板也是一个教室中的重要组成部分，它标准性不仅影响着同学们的视力，更是影响着老师们对知识的传授和同学们对知识的接受，因此我们对于黑板平均照度的计算单独建立模型，由于黑板有规定规格的专业黑板灯照明，而且其有效的照射面积（其直射距离足够小）基本覆盖了整个黑板故考虑黑板的照度均匀度意义不大，并且为了保持黑板照度要高于周围环境照度的条件，故不可能去提升其他桌面照明灯的功率和光通量来增加黑板面上的光照度.关键词一、问题重述据统计数据显示，目前全国青少年近视率平均达40%，已排名世界第二位，而大学生的近视率甚至高达70%以上。

究其原因，除饱受诟病的课业负担重导致用眼疲劳以外，教室的照明条件不良也是其重要因素.由于我们国内现有的大多数教室都是2004年以前所建立的，教室内的灯源数量及摆设大多都是按照《中小学校教室采光和照明卫生标准》旧标准设计的[1]，而社会发展到现在，随着各种科学技术的不断进步，人们对视觉的认识也在不断加深，相应的对灯光设计，关照强度提出了更高的要求，最新标准修订了教师课桌面、黑板的照明标准，增加了对光源、教室统一眩光值、照明功率密度以及维护系数的规定.其中要求教室课桌面上的维持平均照度值不应低于300Lx；教室黑板应设局部照明灯，其维持平均照度不应低于500Lx[2].而自今年1月1日开始实施的《中小学校设计规范》（GB50099-2011），也将平均照度300Lx作为普通教室的照明标准[3].并且根据复旦大学电光源研究所的有关研究成果，300Lx只是中小学教室照度的底线，同时，呼吁国家能够突破底线，给广大学子营造一个舒适明亮的学习环境二、问题分析通过对上述问题的理解，可以将对整个灯光问题的研究分为俩部分，一部分是对教室桌面高度平面的研究，另一部分就是教室黑板问题的研究.可如图所示对于教室桌面高度平面的研究主要包括以下部分，该平面的均匀照度与国家标准的比较分析；该平面的照度均匀度与国家标准的比较分析，这部分将是本文重点研究部分，以往相关文章只是进行简单数据统计的情况，在这部分中将建立详细的数学模型，仔细研究光照度的分布函数（包括横向和纵向的函数分布图），尽可能做出该平面光照度的空间分布图，然后对结论进行系统的分析及推广；设想移动光源位置，对模型重新修改，重新整理照度均匀度的分布函数，做出相应的数学模型，为了使照度均匀度达到国家规定的标准值以上，计算出合理的模型，并给出说明.对于黑板平均照度的计算可以单独建立模型，由于黑板有规定的黑板灯照明，故考虑黑板的照度均匀度意义不大，并且为了保持黑板照度要高于周围环境照度的条件，故不可能去提升其他桌面照明灯的功率和光通量，所以，只需要对黑板照明灯的功率和光通量进行调节就可以满足要求.三、模型假设与约定4.2.1 模型假设（1）假设一：将教室每一灯具内的2支灯管合并为1支灯管，光源的功率，光通量等于各个参数之和.（2）假设二：将教室里面的光源日光灯管抽象成线光源，计算中不考虑俩盏的宽度带来的距离影响，将俩盏灯等效成一盏灯计算.图`（3）假设三：将地面于桌面反射所带来的照度忽略不计，因为地面与桌面反射系数很低，而且主要是漫反射.（4）假设四：将黑板所在的墙面所带来的反射忽略不计，因为黑板很少存在镜面反射，那样眩光太明显了，而黑板面积居中，所占该墙面的比重很大，故可忽略该墙面的反射.（5）假设五：在计算中不考虑自然采光对照度分布的影响.（2）假设二：在计算中，不考虑自然采光对于教室黑板关照度分布的影响.（3）假设三：玻璃的反射率与墙面的反射率近似相等.(白天玻璃的反射率极低，晚上极高)四、符号说明及名词定义模型符号的说明E：平均照度，单位为（lx）；N：灯具的数量；U：灯具的利用系数；K：灯具的维护系数；A ：教室的面积；RI ：该教室的室形指数； Φ：光源的光通量；i i A B :等效灯管i l 的两端点的坐标点；Φ：等效光源的光通量，其值数据上为两盏灯的和；ML E ：动点M 对x 轴上任意点L 点的直射照度；α：直线ML 与z 轴间的夹角；i E 直：灯管i l 对任意点L 的直射照度；j E直：灯管j l 对任意点L 的直射照度；LE直：教室里的所有灯管对任意点L 的直射照度；L E 反：教室里的所有灯管对任意点L 的反射照度；EL：教室里的所有灯管对任意点L 的总照度；E '：式（015）中表达式合并为n 项多项式的和中的某一项； max E ：照度分布函数中求得的照度最大值； min E ：照度分布函数中求得的照度最小值；avc E ：教室桌面所在平面的平均照度；12/U U :教室桌面所在平面的照度均匀度；五、模型的建立与求解问题一: 模型的建立求解本论文将选取所在学校教学楼中的一间普通教室为实例进行研究，主要问题是该教室桌面及黑板的平均照度，照度均匀度与国家最新的相关标准的比较，分析差距原因，通过计算给出弥补措辞和结果.以下是对我校北区6号教学楼308教室的相关参数 （表） 308教室教室长:a m教室宽 :b m教室高 1:h m灯具高度2:h m 灯具长度1:l m 灯间距（横）2:l m 灯间距（纵）3:l m 左灯距墙4:l m 桌面高度3:h m参数308教室黑板灯距墙面5:l m黑板长2:a m 黑板宽2:b m 黑板距顶灯高 4:h m光源功率:P w光源光通量:lm Φ墙面反射比1:%α灯光数量:n 盏参数2*361800502+15*2图 中心灯管上某点光强分布示意图平均照度的计算通常利用系数法，赔光曲线法和等照度曲线法.相对于赔光曲线法和等照度曲线法而言，系数法考虑了四周维护结构内表面对关的反射作用，适用于均匀布置，四周建筑表面反射系数较高，空间无大型设备遮蔽的室内照明，对于教室内的平均照度计算使用系数法比较准确.根据系数法平均照度计算公式： /E NUK A =Φ（001）该教室的室形指数（表示房间几何形状的数值）.其计算式为：1.()a bRI h a b =+（002）计算得 1.28RI =，该墙面的反射系数为10.5α=，查《照明系数手册》可得：灯具的利用系数0.72U =.查《照明设计标准》，结合我校实际对教室的维护清洁情况，可取较高的灯具维护系数0.7K =.其中232,88N A ab ===m ,带入各项数据计算得我校6号教学楼xoyz AB ML308室桌面所在平面的平均照度为：329.89E lx =问题二: 模型的建立求解以桌面所在的平面为xoy 平面，以中心灯管中点所在的垂直线为z 轴，建立空间直角坐标系.由于所有灯管中，只有俩盏黑板灯的排列方向不一致，为了便于后面积分的计算和模型分析的需要，我们建所有的灯管根据排列的不同分为俩部分，由于整个教室灯管排布是yoz 平面对称的（中心灯管所在直线的垂直面），则该桌面所在平面的照度分布也必定沿yoz 平面对称.这将为我们的计算带来方便，我们只需计算出x 轴正方向的照度分布就好了.如图所示，当建立如此坐标系后，教室的所有灯管的坐标都建确定下来，例如等效的中心灯管11A B 的坐标为：11111111111(,,)(,,),(0,0.615,2.03)(0,0.615,2.03)A B x y z x y l z A B +-即图 教室模型全景图一：现在我们来考虑x 轴正方向在xoz 平面内的直射照度分布情况.对于任意一盏等效灯管1(,,)(,,)i i i i i i i i A B x y z x y l z +（除了俩盏黑板灯以外，黑板灯在后面单独计算），该光源光通量为Φ，在i i A B 上的任意一点(,,)i i i M x y y z +，对于x 轴正方向上的任意一点(,0,0)L x ，根据光照度计算公式可知，点M 对L 点的直射照度为：2ML ICOS E dα=（003）其中 44h I COS dαπΦΦ===Ω4423cos hh h h dα=-=2224()()i i d x x y y h =-+++ (004)则3222442423..()()44MLi i h h ICOS E x x y y h d d αππ-ΦΦ⎡⎤===-+++⎣⎦ (005)将（005）对y 进行积分，则可以求得灯管i i A B 对点L 的直射照度与L 的横坐标x 的关系函数.132224240.()()4l i i i h E x x y y h d y π-⎡⎤⎣⎦Φ=-+++⎰直 （006）根据《数学分析》（第二册）中的第二换元积分法[5]：3222222x dx c ax a-±=±⎰（a ）（007）可令2224()i i y y ym x x h '=+=-+积分区间变为1(,)i i y y l +则()()111112244222322224404.4.()()4i i y l y l l i i i h y m dy h y m y m h E xx y y h d yπππ++-⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦Φ=+''Φ'=+'Φ=-+++⎰⎰直（008）（12315i =、、）得到十五盏桌面照明灯i E直与x 的关系函数为：()()()2222244422222444()()4()()4i iii i i i ii i i x x h y l x x h h x x h y x x h h E ππ⎡⎤-+++-+⎣⎦Φ-⎡⎤-++-+⎣⎦Φ=直（12315i =、、） （009）上面的计算公式不包括俩盏黑板灯，这俩盏灯管是平行于x 轴排列的，其上面的点在移动过程中，变化的量是x ，与上面的计算方法相同，其中2224()j j d x a x y h =+-++ （010）那么俩盏黑板灯与x 的关系函数为：3222421.()0444422222414442222244h lE x a x y h da j j j x l x h y h x l x y h j j j x x h y h x x y h j j j πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-Φ=+-++⎰+-Φ=++-++-Φ-+-++直1617j =（、）（011） 那么整个教室的照明灯在x 轴的点00x L （，，）处的直射照度为：()()()17115171162222244222224444()()()()4444222224144.42224i i j i iii i i iii i x x h y l x x h x x h y x x h E EL i EEi i h x l xh y h x l x y h j j j x xh y h x x j j ππππ===⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+=-+++-+--++-++Φ+-Φ++-++-Φ-+-∑∑∑直直直直224y h j ++（012）二：现在考虑教室内的灯光对点L 的反射照度，忽略桌面与地面的反射和黑板所在墙面的反射后，其数学模型如下图所示，同样将教室内的灯管分为俩部分，为15盏纵向的等效灯管，和2盏横向的黑板灯管.同上面的计算直射照度的方式对模型计算，对于任意一盏等效灯管1(,,)(,,)i i i i i i i i A B x y z x y l z +（除了俩盏黑板灯以外，黑板灯在后面单独计算），该等效光源光通量为Φ，在i i A B 上的任意一点(,,)i i i M x y y z +，则令M 关于三面边墙和天花板的镜像分别为1(8,,)i i i M x y y z --+、2(8,,)i i i M x y y z -++、3(,11,)i i i M x y y z ---、4(,, 1.6)i i i M x y y z ++.如图所示a 图 俯视图作图模型b 图 右视图作图模型图对于x 轴正方向上的任意一点(,0,0)L x ，根据光照度计算公式可知，点M 对L 点的反射照度为：1234M L M L M L MLL E E E E E =+++反按照上面计算直射照度的方法计算，只要在光通量前乘以墙面反射系数就可以了，依次计算出1234i M Li E =、、、在此处的计算技巧：比较(,,)i i i M x y y z +与1(8,,)i i i M x y y z --+，可以发现只有x坐标不同，其他计算步骤与方法均相同，所以，将8i i x x =--代人（012）式，则可得：()()()11122222441222224414488888888.()()()()..4444222224144.4224i iM L i i i i ii i i x x h y l x x h x x h y x x h E x l xh y h x l x y h j j j x xh y h x x j j ααααππππ⎡⎤--⎣⎦⎡⎤--⎣⎦-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭=--+++--+---++--++-+-Φ+-+-++--Φ-+--2224y h j ⎫ ⎪⎝⎭++（013）(12315)(1617)i j ==、、、用计算技巧可以快速得到234i M Li E =、、因为23iM Li E =、与1M L E 的计算极为相似，这里便不在多计算将4M L E 计算出来便可. ()()()( 1.6)4.14242222()( 1.6)()( 1.6)44( 1.6)4.1422222()( 1.6)()( 1.6)44( 1.6)4.142222( 1.6)( 1.6414y lh i iE M L x x h y l x x h i i i i y h i x x h y x x h i i i x l xh y h x l x y h j j j απαπαπ+Φ+=⎡⎤-++++-++⎢⎥⎣⎦Φ+-⎡⎤-+++-++⎢⎥⎣⎦+-Φ++⎛⎫⎛⎫+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2)( 1.6)4.1422222( 1.6)( 1.6)44x x h y h x x y h j j j απ-Φ+-⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12315)(1617)i j ==、、、 （014）那么，整个教室所有灯源经过直射和反射后(,0,0)L x 所得到的总照度为：1234E E E L LL E E E E EM L M L M L M L L =+=++++反直直（015）接下来我们将对总照度E L关于点(,0,0)L x 的变量x 的关系函数（015）进行分析.很明显，若是直接对函数表达式（015）进行分析，那将是一个非常复杂的工作，对冗长而且无法化简的表达式进行微积分计算来求出函数式的单调性（或者区间单调性），那是非常困难近乎难以完成的工作.这里我们运用单调性分析技巧.通过观察我们容易发现，由于（015）最后的函数表达式中，临近两项都可以合并为一项（可以通过观察（013）式或（014），因为它们都是（015）中的一项和式）.最后的表达式将形成N 项多项式的和的形式，并且这些多项式的模型相同，也就是这些多项式的单调性相同.通过上述对最终表达式的表述，我们知道了，只需要分析出其中一项多项式的单调性，就代表了（015）式的单调性； 那么我们就以（015）中的一项来作分析：（015）式中的其中一项为()()()()()()42222222244422222442222244444()()()()()()()44i iii i i i i i i iii i i iii i E h x x h y x x h y l x x hx x h y l x x h x x h y x x h πππ'=⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦⎡⎤Φ=⎡⎤-++-+++-+⎣⎦-+++-+--++-+（016） 这样我们很发现，表达式2214()i f x x h =-+，（017）()()()222222244()()i iiii i i i f y x x hy l x x h=+-+++-+ （018）由于（017）式中的表达式的变量的幂要高于（018）式中的幂，故式（017）的增长率要远大于式（018）的增长率，所以（016）式的单调性为E '在[]i x -∞， 上递增，在,i x ⎡⎤+∞⎣⎦上递减.在上述坐标系下，式（016）的( 2.7,0,2.7)(12)i x i =-=、、315,通过上述分析，我们可以将在x 轴上的照度分布x E 与x 的关系分布图作出来，如图所示（这里选用取点法作图，这里由于取点有限精确度不高，只做分析用）：图照度E 与x 的关系函数图从上述分析和图形单调性来看，当( 2.7,0,2.7)i x x ==-函数值达到极大值，在0x =时达到最大值max E ；在 1.4x =±，达到极小值也是最小值min E ，将相关的值代入（015）式进行计算得：max 385.00lx E ≈min 210.00lx E ≈则min 1max 210.000.55385.00E E U ===min 2210.000.64329.89avc E U E ===根据《建筑照明设计标准》对照度均匀度的最新规定：4.2.1 公共建筑的工作房间和工业建筑作业区域内的一般照明照度均匀度，不应小于，而作业面邻近周围的照度均匀度不应小于 .与上述结果比较发现，照度均匀度2U 略小于国家规定标准，但都满足周围的照度均匀度不小于.对目前教室灯具安装、布局的合理性进行讨论。