1.2集合间的基本关系1．Venn图(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．(2)适用范围：元素个数较少的集合．(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．2．子集、真子集、集合相等的概念(1)子集的概念文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A中任意A⊆B(或B⊇A)一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．(3)真子集的概念文字语言符号语言图形语言如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且A B(或B A)x∉A，就称集合A是集合B的真子集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C.1．集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个B解析：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 共4个，故选B.2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A<BC．B⊆A D．A⊆BC解析：用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知B⊆A.3．若{1，2}⊆B⊆{1，2，4}，则B＝________．{1，2}或{1，2，4}解析：由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}，{1，2，4}.【例1】指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解：(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N M.集合间基本关系的两种判定方法和一个关键提醒：注意元素与集合、集合与集合之间的关系和所用符号的区别．1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则集合M与N的关系是()A．M＝NB．N MC．M ND．N⊆MC解析：解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1，2}．因为1∈M 且1∈N，2∈M且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以M N.2．已知集合M ＝{x |－1＜x ＜5}，N ＝{x |0＜x ＜3}，则正确表示M 和N 关系的Venn 图是( )B 解析：因为N M ，故选B.3．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋13，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n3＋1，n ∈Z ，则集合A ，B 的关系为________．A ＝B解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝13（2n ＋1），n ∈Z ， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝13（2n ＋3），n ∈Z . 因为2n ＋1，n ∈Z 和2n ＋3，n ∈Z 都表示所有奇数，所以A ＝B .【例2】已知集合A ＝{x ∈Z|－2≤x ＜2}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则集合B 的子集的个数为( )A ．7B ．8C ．15D ．16B 解析：由题意得A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{0，1，4}，所以B 的子集有23＝8(个)，即∅，{0}，{1}，{4}，{0，1}，{0，4}，{1，4}，{0，1，4}．故选B.【例3】已知集合A ＝{x ∈R|x 2＝a }，使集合A 的子集个数为2的a 的值为( )A ．－2B ．4C ．0D ．以上答案都不是C 解析：由题意知，集合A 中只有1个元素，也即x 2＝a 只有一个解； 若方程x 2＝a 只有一个解，则有a ＝0.【例4】若A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝m n，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为________．6解析：由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝m n，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集个数为23－2＝6.元素个数与集合子集个数的关系(1)探究．集合A集合A中元素的个数n集合A的子集个数∅0 1{a}1 2{a，b}2 4{a，b，c}38{a，b，c，d}416①A的子集有2n个．②A的非空子集有(2n－1)个．③A的非空真子集有(2n－2)个(n≥1)．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．解：∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．∴A的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．探究题1 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1，m 为常数}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：①若B ＝∅，满足B ⊆A ， 则m ＋1＞2m －1，解得m ＜2.②若B ≠∅，满足B ⊆A ，则⎩⎨⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.综上，实数m 的取值范围为{m |m ≤3}．探究题2 已知集合A ＝{0，－4}，集合B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ⊆A ，试求a 的取值范围．解：因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1； ②当B ≠∅且BA 时，B ＝{0}或B ＝{－4},并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1. 综上所述，所求实数a 的取值范围是{a |a ≤－1或a ＝1}．已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式(组)的解集，常借助数轴求解，此时需注意端点值能否取到．1．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1＜x＜m}(m＞1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．{m|1＜m≤4}解析：由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4，又m＞1，所以1＜m≤4.2．已知集合A＝{1，3，x2}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得集合B 是A的子集？若存在，求出A，B；若不存在，请说明理由．解：因为B⊆A，所以x＋2＝3或x＋2＝x2(即x－1或x＝－1或x＝2)．当x＝1时，A＝{1，3，1}不满足互异性，所以x＝1(舍)．当x＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，满足B⊆A.当x＝－1时，A＝{1，3，1}不满足互异性，所以x＝－1(舍)．综上，存在x＝2使得B⊆A.此时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}．集合间基本关系练习(30分钟60分)1.(5分)已知集合A ＝{x |x 2－9＝0}，则下列式子表示正确的有( ) ①3∈A ；②{－3}∈A ；③∅⊆A ；④{3，－3}⊆A . A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个B 解析：根据题意，集合A ＝{x |x 2－9＝0}＝{－3，3}． 3∈A ，3是集合A 的元素，故①正确； {－3}是集合，有{－3}⊆A ，故②错误； 空集是任何集合的子集，故③正确； 任何集合都是其本身的子集，故④正确．2．(5分)已知a 为给定的实数，那么集合M ＝{x |x 2－3x －a 2＋2＝0，x ∈R}的子集的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．不确定C 解析：因为方程x 2－3x －a 2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a 2＞0， 所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M 有2个元素，所以集合M 有22＝4(个)子集．3．(5分)设A ＝{x |2≤x ≤6}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |1≤a ≤3}B ．{a |a ≥3}C ．{a |a ≥1}D ．{a |1＜a ＜3}C 解析：因为A ＝{x |2≤x ≤6}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，且B ⊆A ，所以当B＝∅时，2a ＞a ＋3，解得a ＞3；当B ≠∅时，⎩⎨⎧a ＋3≤6，2a ≥2，2a ≤a ＋3，解得1≤a ≤3.综上，a的取值范围是{a |a ≥1}．4．(5分)设集合M ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z}，N ＝{x |x ＝4k ±1，k ∈Z}，则( )A．M＝NB．M NC．N MD．N⊆MA解析：方法一：(列举法)因为集合M＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，所以其中的元素是奇数且M＝{…，－3，－1，1，3，…}．因为集合N＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，所以其中的元素也是奇数且N＝{…，－3，－1，1，3，…}．所以它们之间的关系为M＝N.方法二：(特征性质法)对于x＝2k－1，k∈Z.当k为偶数，即k＝2n，n∈Z 时，x＝4n－1，n∈Z，当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时，x＝4n＋1，n∈Z，所以集合M＝N.5.(5分)集合{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}的非空子集有________个．15解析：{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)}共4个元素，故原集合的非空子集共有24－1＝15(个)．6.(5分)已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，那么M________P．(填“”“”或“＝”)解析：对于任意．x∈M，有x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5.∵a∈N*，∴a＋2∈N*，∴x∈P.由子集的定义知，M⊆P.由a＝2∈N*时，a2－4a＋5＝1∈P，而1＋a2＝1在a∈N*时无解，∴1∉M.综上所述，M P.7.(5分)已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的取值是________．0，±1 解析：P ＝{－1，1}， 若Q ＝∅，则a ＝0，此时满足Q ⊆P .若Q ≠∅，则Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝1a .由题意知1a ＝1或1a ＝－1，解得a ＝±1.综上可知，a 的取值是0，±1.8.(5分)集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，1，2，3，具有性质“若x ∈P ，则1x ∈P ”的所有非空子集的个数为________．7解析：根据题意，满足题意的子集有{1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，3，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，13，3，⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，12，13，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，13，3，共7个．9.(10分)已知集合A ＝{x |－5＜x ＜5}，B ＝{x |－2a ＜x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：因为B ⊆A ，当B ＝∅时，－2a ≥a ＋3，解得a ≤－1；当B ≠∅时，⎩⎨⎧－2a <a ＋3，－2a ≥－5，a ＋3<5，解得－1<a <2.综上，实数a 的取值范围为{a |a <2}．10.(10分)已知集合A ＝{x |(x －a )·(x －a ＋1)＝0}，B ＝{x |(x －2)(x－b )＝0，b ≠2}，C ＝{x |1＜2x －3＜5}．(1)若A ＝B ，求b 的值； (2)若A ⊆C ，求a 的取值范围． 解：A ＝{a ，a －1}，B ＝{2，b }， (1)若a ＝2，则A ＝{1，2}． 因为A ＝B ，所以b ＝a －1＝1.若a －1＝2，则a ＝3，A ＝{2，3}，所以b ＝3. 综上，b 的值为1或3.(2)C ＝{x |2＜x ＜4}，因为A ⊆C ，所以⎩⎨⎧2＜a ＜4，2＜a －1＜4，所以3＜a ＜4. 所以a 的取值范围是{a |3＜a ＜4}．。