《应用举例》教案
一、教学目标
1．知识与技能
掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角
形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法
通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式
及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值
通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了
事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联
系。
二、教学重、难点

重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
三、教学方法

方法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
教学用具：教学多媒体设备
四、课时

1课时
五、教学过程

[创设情景]
思考：在ABC中，已知22acm，25bcm，0133A，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条
件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]
例1．在ABC中，已知,,abA，讨论三角形解的情况

分析：先由sinsinbABa可进一步求出B；
则0180()CAB
从而sinaCcA
1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；
如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若sinabA，则有两解；
（2）若sinabA，则只有一解；
（3）若sinabA，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
sinbAab
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知80a，100b，045A，试判断此三角形的解的情况。

（2）在ABC中，若1a，12c，040C，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，axcm，2bcm，045B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求
x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x）
例2．在ABC中，已知7a，5b，3c，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
222
222
222

是直角ABC是直角三角形是钝角ABC是钝角三角形是锐角abcAabcAabcA

ABC是锐角三角形

（注意：是锐角AABC是锐角三角形）
解：222753，即222abc，
∴ABC是钝角三角形。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件coscosaAbB，判断ABC的类型。
（答案：（1）ABC是钝角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）

例3．在ABC中，060A，1b，面积为32，求sinsinsinabcABC的值
分析：可利用三角形面积定理111sinsinsin222SabCacBbcA以及正弦定理
sinsinabABsincCsinsinsinabcABC
解：由13sin22SbcA得2c，
则2222cosabcbcA=3，即3a，
从而sinsinsinabcABC2sinaA
[随堂练习3]
（1）在ABC中，若55a，16b，且此三角形的面积2203S，求角C

（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积2224abcS，求角C
（答案：（1）060或0120；（2）045）
[课堂小结]
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。