r H x R H R r R x H 2R 2 S圆柱侧 2Rx x H
S圆柱侧 2rx
H x r RBiblioteka (2)因为 S圆柱侧 的表达式中x 的系数小于零,所以这个二次函 数有最大值.这时圆柱的高是
2
2r H x 2r 2 2 H
故当圆柱的高是已知圆锥高的一半时,它的侧面积最大
c1 , c2 , c3 ,
S圆柱侧 c1l1
S圆锥侧 c2l2
S圆台侧 c3l3

圆柱的截面周长就是上下底面的周长, 圆锥的中截面周长为底面周长的1/2, 圆台的中截面周长为上下底面周长和的1/2.
2003.4.9
'
S圆台侧 1/ 2(c c )l
'
c c
'
c 0
'
S圆柱侧 cl
S圆锥侧 1/ 2cl
课后练习
1. 一个直角梯形的上,下底和高的比为1:2: 3 ,求它旋转而 成的圆台的上底面积,下底面积和侧面积之比.
2. 把圆柱,圆锥,圆台的侧面积用中截面周长及母线长表示 出来.
1 解: 设直角梯形的上,下底和高的长分别是a,2a, 3a.圆 台的母线长为 l. a D 2 A 上底 2 l 3 a 下底
高级中学课本<<立体几何>>
圆柱.圆锥.圆台的侧面积
制作人:毛 春 圃 学 号:013004139
圆柱的侧面积
下图是圆柱的侧面展开图,它是一个矩形,这个矩形的长等于 圆柱底面周长c 宽等于圆柱侧面的母线长 L(也是高)
L r
c 由此可得: 定理 如果圆柱底面半径是r,周c侧面母线长是l,那么它的侧 面积是
例2
圆锥的底面半径为r,侧面母线长为l,侧面展开图扇 形的圆心角为 ,求证
r 360 (度)
l
证明:右图是圆锥侧面展开图.因为扇形的弧长等于圆锥
底面的周长,即
l
S
r 360 (度) l
180
2r
A
L

B
小结
在圆台的侧面积公式中,如果设 c c ,就得到圆柱侧面积 ' 公式 S圆柱侧 cl ,如果设 c 0 ,就得到圆锥侧面积公 式S圆锥侧 1 / 2cl.这样,圆柱,圆锥,圆台的侧面积公式之间 的关系可表示如下图:
S圆柱侧 cl 2l
圆锥的侧面积
下图是圆锥的侧面展开图,它是一个扇形.这个扇形的弧长等于 圆锥底面的周长c,半径等于圆锥侧面的母线长L.
L
c
r
定理
如果圆锥底面半径是r,周长是c,侧面母线是 l,那么它 的侧面积是
S圆锥侧
1 cl rl 2
圆台的侧面积
下图为圆台的侧面展开图,通常把这样的叫做扇环. 由扇环可求出圆台的侧面积 设圆台侧面的母线长为l, 上,下底面周长分别 ' ' 是 c ,c, 半径分别是 r ,r.于是
'
(r r )l
'
定理
是
如果圆台的上,下底面半径 是r, ,周长 ,c,侧面母线长是l,那么它的侧面积是
S圆台侧
1 ' (c c)l (r r )l 2
例题分析
例1 已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一 个高为x的内接圆柱 (1)求圆柱的侧面积 (2)x为何值时,圆柱的侧面积最大 解 :(1) 画圆锥及内接圆柱的轴截面,设所求的圆锥 的底面半径为r,它的侧面积
S圆台侧 c(l x) c x
'
1
1
[cl (c c' ) x](1)
2
2 1
2
x
r'
c
l
'
c r
c x c xl
代入 （1）得
'
cl x ' cc
'
S圆台侧
1 cl ' [cl (c c ) ] ' 2 cc 1 ' (c c )l 2
S
a
S
(2a)
S侧 (a 2a)l
2 2
B
2
又l (2a a) ( 3a)
2a
C
l 2a 2 S侧 6a S上底 S下底 S侧 1: 4 : 6
2. 解: 设圆柱,圆锥,圆台的中截面的周长分别为 母线长分别为 l1 , l 2 , l3 ,则