(2)根号内不再含有开得尽方的因式.
被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式，
这样的二次根式叫最简二次根式.
例7 把下列各式子化成最简二次根式：
（1） 32； （2） 125； 27
（3） a3 . 8
解：（1） 32 16 2 4 2.
（2） 125 125 5 5 5 5 3 5 15 . 27 27 3 3 3 3 3 9
复习小结:
一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根； 因此，开方时被开方数只能为正数或0.
二、创设情境，引入新知
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为 3 ，面积为S
的正方形的边长为 S . （2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为 130 m2，则它的宽为 65 m.
二次根式和它的性质
第一课时
一、回顾与思考
1．4的平方根是____2_；0的平方根是__0____.
2．5的平方根是_____5__；5的算术平方根是___5_.
3. 什么叫平方根？ 什么叫算术平方根？
请同学们议一议：
（1）-1有算术平方根吗？ （没有） （2）0的算术平方根是多少？（0） （3）当a＜0时，a有平方根吗？（没有）
谢谢大家
猜一猜：当a≥0时，二次根式 a2的值是什
么？
复习 回顾 二次根式有哪些性质?
a 2 a a 0
a2 a(a 0)
例3 化简：
（1） 36；
解：（1） 36= 62 =6；
（2） 9 . 4
（2） 9 =
( 3)2
3 .
42 2
1 4 9 ，4 9
2 121 64 ，121 64
等式 a+1≥0，得 a≥-1.
所以，当a≥-1时， a 1 在实数范围内有意义.
（2）如果 1 3a 有意义，那么1-3a≥0.
解不等式 1-3a≥0，得 a 1 . 3
所以，当 a 1 .时， 1 3a 在实数范围内有意义. 3
当x是怎样的实数时， x 2在实数范围内有
意义？
解：由x－2≥0，得 x≥2.
商的算术平方根等于被除式的算术 平方根除以除式的算术平方根
例5 化简：
（1） 3 ； 25
解：
3 = 3 = 3； 25 25 5
（2） 45 ； 169
45 = 45 169 169 = 95 = 3 5 .
132 13
议一议
如何化去
1 2
根号内的分母？
1 1 2 2 2 2
2
22
22
慧眼识真!
1 49 4 9 2 132 122 132 122 13 12
4 9 有意义吗？如果有
意义，应该等于多少？
做一做
1 4
9
，4 9
2 16
25
， 16 25
(3) 6 与 6 相等吗？为什么？
77
一般地，二次根式有下面的性质: (a 0,b＞0)
a a bb
五、检测反馈
当a是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？
（1） 3a ； （2） a 1 ； （3） 6 2a2.
总结:
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于0； ②分母中有字母时，要保证分母不为0.
第二课时
议一议
计算
22
，32
，
1 5
2
，02
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
例2 计算: （1）（ 15）2；（2）（- 0.83）2；（3）（- 3 2）2 .
解：（1）（ 15）2 15； （2）（- 0.83）2 （ 0.83）2 0.83； （3）（- 3 2）2 （- 3）2 （ 2）2 9 2 18.
练习：
1.当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义?
（1） x 3
（2） 2 4x
3
（3） 5x
（4） 1
2 x
（5）
1 x x
（6） x 1
（7） x2
（8） x3
2.计算： （1）( 2.1)2； （2）(2 3 )2 .
（1）( 2.1)2 =2.1； （2）(2 3 )2 22 ( 3 )2 4 3 12.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时 间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单 位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t， 那么t为______h5___.
三、探索新知，解决问题
在上面的问题中，化简的结果分别
是
3，
S ， 65 ，
h 5
.
它们都表示一些正数的算术平方根.
3 2 3 ，2 3
一般地，二次根式有下面的性质: (a 0,b 0)
ab a b
积的算术平方根等于积中各因式 的算术平方根.
例4 化简： （1） 9 25；
解：
9 25 9 25 35 15；
（2） 300.
300= 100 3 = 100 3 =10 3.
如果一个二次根式的被开方数中有的因式 （或因数）能开得尽方，可以利用公式将 这些因式（或因数）开出来．
1. a 表示 a 的算术平方根.
2. a 可以是数，也.
4. a 0.
5. a 既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
四、例题讲解，应用新知
例1 a是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？
(1) a 1；
(2) 1-3a .
解：（1）如果 a 1 有意义，那么a+1≥0，解不
22
2
例6 化去下列各式根号内的分母：
（1） 2； 5
解：
2= 25= 25 5 5 5 52 = 10 ；
5
（2） 1； 7
1= 7 = 7 7 72 72 = 7. 7
练习 化简
(1) 121 225
(2) 42 7
（3） 18
4 5
9
5 2
7
(6) 0.3
化简结果要求:
(1)根号内不再含有分母．
（3） a3
2a 3
2a a2 a 2a
.
8 16
16
4
1.二次根式的性质: a2 a(a 0)
ab a b(a 0, b 0)
2.运用性质化简:
a a (a 0, b 0) bb
(1)根号内不再含有分母．
(2)根号内不再含有开得尽方的因式.
被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式， 这样的二次根式叫最简二次根式.