抽象函数单调性和奇偶性 1. 抽象函数的图像判断单调性 例 1．如果奇函数 f (x) 在区间[3，7] 上是增函数且有最小值为 5，那
么 f (x) 在区间[7， 3]上是( )
A. 增函数且最小值为5 B. 增函数且最大值为5
y
C. 减函数且最小值为5 D. 减函数且最大值为5 分析：画出满足题意的示意图，易知选 B。 2、抽象函数的图像求不等式的解集
又 f (3) f (2 1) f (2) f (1) 2 3 f (1) 4 5
f (1) 3 f (a2 2a 2) 3 f (1)，即a2 2a 2 11 a 3
因此不等式 f (a 2 2a 2) 3 的解集为a|1 a 3。
五、综合问题求解 解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利
5 O
-7 -3 3 -5
例 2、已知定义在R 上的偶函数f (x) 满足f (2) 0 ，并且
f (x) 在 (,0) 上为增函数。若 (a 1) f (a) 0 ，则实数a 的取值范围
二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性
例 3．已知函数 f(x)= g( x) 1 ,且 f(x),g(x)定义域都是 R,且 g(x)>
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的 奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不
等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例 6．已知 f (x) 是定义在（1，1 ）上的偶函数，且在（0，1）上为 增函数，满足 f (a 2) f (4 a 2 ) 0，试确定a 的取值范围。
，
综上所述，所求a 的取值范围是( 3，2) (2， 5)
四、不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通 过函数的单调性去掉函数符号“ f ”，转化为代数不等式求解。
例 7．已知函数 f ( x) 对任意x，y R 有 f ( x) f ( y) 2 f ( x y) ，当
g( x2 ) 1 g( x1) 1
的增函数。 例 4．已知 f ( x) 对一切x，y ，满足 f (0) 0，f ( x y) f ( x) f ( y) ，且当 x 0 时， f ( x) 1，求证：（1） x 0 时， 0 f ( x) 1； （2） f ( x) 在 R 上为减函数。
分析：在 f (xy) f (x) f ( y) 中，令x y 1 ，得
f (1) f (1) f (1) f (1) 0
令x y 1，得 f (1) f (1) f (1) f (1) 0 于是 f (x) f (1 x) f (1) f (x) f (x) ，故 f (x) 是偶函数。 三、求参数范围
x
，2
Hale Waihona Puke 则0 f (x2 x1 ) 1， f (x2 ) f [(x2 x1 ) x1 ] f (x2 x1 ) f (x1 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ，即 f ( x) 为减函数。 2.证明奇偶性
例 5．已知 f (x) 的定义域为 R，且对任意实数 x，y 满足 f (xy) f (x) f ( y) ，求证： f (x) 是偶函数。
g( x) 1
0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m)g(n) g(m n)(m, n R) .
求证： f(x)是 R 上的增函数. 解:设 x1>x2 因为，g(x)是 R 上的增函数, 且 g(x)>0。
故 g(x1) > g(x2) >0。 g(x1)+1 > g(x2)+1 >0，
1 a 2 0 f (a 2 4) 1 a 2 4 0
a 2 a 2 4 解之得，3 a 2
（3）当2 a 5 时 ， f (a 2) f (4 a 2 )
0 a 2 1
f (a 2 4) 0 a 2 4 1 a 2 a2 4
解之得，2 a 5
解： f (x) 是偶函数，且在（0，1）上是增函数，
f ( x) 在
(1，0) 上是减函数， 由1 a 2 1 得
3 a 5。
21 4
（1）当 a 2 时， f (a 2) f (4 a2 ) f (0) ，不等式不成立。
（2）当 3 a 2 时，
f (a 2) f (4 a 2 )
证明：对一切x，y R 有 f (x y) f ( x) f ( y) 。且 f (0) 0 ，令
x y 0 ，得 f (0) 1，
现设x 0，则 x 0 ， f ( x) 1，而
f (0) f ( x) f ( x) 1
f ( x)
1 f (x)
1
0
f
( x)
1，设x1，x2 R 且 x1
x 0 时， f ( x) 2 ， f (3) 5，求不等式 f (a 2 2a 2) 3 的解集。
解：设x1 、x2 R 且 x1 x2 ， 则x2 x1 0 ， f ( x2 x1 ) 2 ，则
f (x2 x1 ) 2 0 ， f (x2 ) f [(x2 x1 ) x1 ] f (x2 x1) f (x1) 2 f(x1 ) f (x2 ) f (x1 ) ， 故 f ( x) 为增函数，
2 > 2 >0
g( x2 ) 1 g( x1 ) 1
2 - 2 >0。
g( x2 ) 1 g( x1) 1
f(x1)- f(x2)= g( x1) 1 -
g( x1 ) 1
g( x2 ) 1 =1-
g( x2 ) 1
2 g( x1) 1
-(1-
g(
2)
x2 ) 1
7x
.
= 2 - 2 >0。可以推出：f(x1) >f(x2)，所以 f(x)是 R 上
用函数的奇偶性去掉函数符号“ f ”前的“负号”，三是利用函数单 调性去掉函数符号“ f ”。 例 8.设函数 y f ( x) 定义在 R 上，当x 0 时， f ( x) 1，且对任意 m，n ，有 f (m n) f (m) f (n) ，当m n 时 f (m) f (n) 。（1）证明 f (0) 1； （2）证明： f ( x) 在 R 上是增函数；（3）设