如何显化它的作用呢？欧拉用13年的功夫，悟 出了一个捕捉它、显化它的巧妙方法 ——
用干扰力产生的初始变形代替它
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤 走了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 随遇平衡 或 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
y
y
P
x
y P
x
x
M
P
P
P
y
x M P
到原有直线状态，图 c 压力P大类似凸面作用
二、压杆失稳与临界压力 1.理想压杆：材料绝对纯，轴线绝对直,压力绝对沿轴线
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡
稳
P
定
平
衡
横向扰动
100P 横向扰动
不 稳 定 平 衡
哪个杆会有 失稳现象？
—— 斜撑杆
3.压杆失稳
4.压杆的临界压力
干扰力是随机出现的，大小也不确定 —— 抓不住的、来去无踪
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Hale Waihona Puke 长度系数μ =1 0.7
=0.5
=2
=1
虽然梁弯曲与柱稳定都用了 但是含义不同，对于梁弯曲：
力学上 —— 载荷直接引起了弯矩 数学上 —— 求解是一个积分运算问题
对于柱屈曲（压杆稳定）：
力学上 ——载荷在横向干扰力产生的变形上引起 了弯矩
同长度、截面性质、支撑条件有关
二、欧拉公式的适用范围 着眼点 —— 临界应力在线弹性内（小于比例极限）
三、经验公式、临界应力总图 1.直线型经验公式
①P < <S 时：
②S< 时：
③临界应力总图
ls =s -a
b
lP = p 2E
P
2.抛物线型经验公式
①P < < s 时：
§2.1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力
①强度 ②刚度
③稳定性
工程中有些 构件具有足够的 强度、刚度，却 不一定能安全可 靠地工作
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 不稳定平衡
稳定平衡
平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置； 干扰力撤消：
（1）稳定平衡 —— 凹面上，刚球回到原位置 （2）不稳定平衡 —— 凸面上，刚球不回到原位置，
=0.7，
③压杆的临界力
y x
例 求下列细长压杆的临界力
解：图(a)
P P
10 30
z
y
图(b)
L L
图(a)
(4545 6) 等边角钢
图(b)
§15.4 临界应力、经验公式、临界应力总图 一.临界应力和柔度 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力
2.细长压杆的临界应力：
3.柔度：
而是偏离到远处去 （3）随遇平衡 —— 平面上，刚球在新位置上平衡
理想弹性压杆（材料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线） 作用压力P，给一横向干扰力，出现类似现象：
（1）稳定平衡 —— 若干扰力撤消，直杆能回到原
有的直线状态 ，图 b 压力P小 类似凹面作用
（2）不稳定平衡 ——若干扰力撤消，直杆不能回
我国建筑业常用：
②s < 时：
对于临界应力的理解 （1）它的实质：
象强度中的比例极限、屈服极限类似，除以 安全因数就是稳定中的应力极限
（2）同作为常数的比例极限、屈服极限不同， 变化的临界应力依赖压杆自身因素而变
对于临界应力总图形成的不同见解
（1）书中思路：
大柔度
中柔度（a，b）
小柔度
（2）我猜想的历史发现过程：
③微分方程的解 ④确定积分常数
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故只能取n=1 且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
此公式的应用条件： 1.理想压杆 2.线弹性范围内 3.两端为球铰支座
§3.3 压杆两端约束不同的临界力 （Critical Load)
两端约束不同的情况，分析方法与两端铰支的相同 其它支承情况下，压杆临界力为
第2章 压杆稳定 Column Stability
赠言
惟有道者能备患于未形也。 《管子 ·牧民》
见微知著，睹始知终。 袁康《越绝书 ·越绝德序外传记》
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7
压杆稳定性的概念 两端铰支细长压杆的临界力 两端约束不同时的临界力 临界力、经验公式、临界力总图 压杆的稳定校核 压杆稳定计算的折减系数法 提高压杆稳定性的措施
即压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）
各种支承条件下等截面细长压杆临界力欧拉公式
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
失
Pcr
Pcr
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线
形
C
C
状
A
A
A
数学上 ——是一个求解微分方程的问题
欧拉圆满地处理了干扰力的作用,值得注意的5点： 1、轴向压力和横向干扰力的区别——
强度、刚度、疲劳等，载荷为外因 压杆稳定中，载荷为内因，横向干扰力为外因 2、横向干扰力不直接显式处理，化为受压柱的初 始变形予以隐式地处理 （干扰力作用后即撤销，用其变形去推导有道理） 3、轴向压力同干扰力产生的横向变形的共同效应， 产生了一个纯轴压时不存在的弯矩，该弯矩决定 了平衡的稳定或不稳定 4、显示了量变引起质变的道理、内因与外因的关系 5、近代科学的混沌、分岔学科的极好的开端
横向干扰力产生2种初始变形,在轴力作用下
要保持平衡,截面有力矩 M ,得到同一方程
为得到压杆变形方程，回忆M与挠曲线的关系
由2式得到压杆变形微分方程
§2.2 两端铰支压杆的临界力 图示横向干扰力产生的初始变形,在轴力作用下
要保持平衡,截面必然有力矩 M
①力矩
②挠曲线近似微分方程
P
P
x
y
M
P
P x
若向下弯，所得挠曲方程是一样的
例 导出下述两种细长压杆的临界力公式 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为
P
P
M0
P
x
x M0
L
M0 P
M0 P
边界条件为
为了求最小临界力，“k”应取的最小正值，即 故临界力为
= 0.5
例 求下列细长压杆的临界力
y
z h
b
解：①绕 y 轴，两端铰支：
z L1 L2
=1.0，
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
大柔度
小柔度
发现不安全 — 插进中柔度
拍脑袋确定中柔度最低限
l 0
lP
= 0.6 l P
根据中柔度最低限
算出a，b
l 0
lP
例 两端铰支杆长L=1.5m，由两根 56568 等边A3角
钢组成，压力P=150kN，求临界压力和安全因数
解：一个角钢：
z y
两根角钢组合之后
所以，应由抛物线公式求临界压力