生物医学信号处理试卷集试卷一答案和评分标准：一、假设有两个离散平稳随机过程)(),(n y n x ，mx m R 6.0)(=，my m R 8.0)(=，它们统计独立，求这两个随机过程的乘积的自相关函数和功率谱密度。

（14分） 解：设z=xy ，my x z m R m R m n y n y E m n x n x E m n y m n x n y n x E m n z n z E m R 48.0)()()]()([)]()([)]()()()([)]()([)(==++=++=+=（6分）∑==+∞-∞=-m mj mz j z e m R DTFT e P ωω48.0)]([)(（4分）=ωcos 96.02304.17696.0-（4分）二、设线性系统如图所示，已知n n n s ,相互独立，且ωω2sin )(=j s e S ，21)(=ωj n e S 。

要求设计一个滤波器ωω2sin )(c e H j =，试确定c 使得滤波后的输出n s ˆ与真实信号n s 的均方误差最小，即])ˆ[(2n n s s E -最小。

（14分）解答：设误差为n n n s ˆs e -=其自相关为：)m (R )m (R )m (R )m (R )]s ˆs )(s ˆs [(E )e e (E )m (R s ˆs s ˆs ˆs s m n m n n n m n n e +--=--==+++（2分）做傅立叶变化：)()()()()(ˆˆˆωωωωωj s j s s j s s j s j e e S e S e S e S e S +--=（4分） ωωωωωωωω4262j n j s 2j j x 2j ˆsin 21sin ])(e S )(e S [)e (H )(e S )e (H )(c c e S j s +=+== （2分）ωωωωωω4i s i i sx i ˆsin )e (S )e (H )e (S )e (H )(c e S j s s ===ωωωωωω4i s i i xs i s ˆsin )e (S )e (H )e (S )e (H )(c e S j s ===** （2分）2214321c c +-=ξ （3分）求导等于零：43=opt c （1分）三、简述横向结构的随机梯度法算法步骤。

（14分） 解答：步骤1：]x ,x ,x ,x [)T (X p 1p -T 2-T 1-T T '=+个值观察到（2分）步骤2：先给定。

预先给出，与，初值计算μμT T e W (T)X e 2(T)W 1)(T W+=+（4分） 步骤3：1)(T X )1(T W d e ]x ,x ,x [)1T (X x 1T 1T 2p T T 1T 1T +'+-='=++++-++计算新的误差：后，令当有新观测值（5分）转入步骤2，代入得到W （T+2），e （T+2）…..使得W 接近最优解。

（3分）四、利用⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--)1()()1()(00p inv p p p A A Aρ推导L-D 算法来解Y-W 方程： 0)()(01>∑-+==m k m R a m R pk xx k xx ；)()0(12=∑-+==m k R a R pk xx k xx w σ。

（16分）解：P 阶Y-W 方程写成矩阵形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--001)0()1()()1()0()1()()1()0(21wpp p p a a R p R p R p R R R p R R R σ，)()()(P p p E A R=⋅p-1阶方程：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------001)0()2()1()2()0()1()1()1()0(2)1(1111p wp p p a a R p R p R p R R R p R R R σ，)1()1()1(---=⋅P p p EAR，（2分）)1()1()1(---=⋅P invp invp E A R（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--)1()()1()(00p inv p p p A A A ρ=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⋅+⋅+---)()1(1)()1(1)(001p p p p p p a a ρρρ ，所以有：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=---)()()1()()1()(p p p p k p p p k p k a a a a ρρ（4分）)()(p p A R ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡------)1()1()()()1()1()1()1()()1()(0)1()()1()0(0)0()1()()(00p inv p p R p p R p p inv p p p A R R p R R R A R R p R p R R A A R ρρ)()1(11)1()(11)1()1()()()()(p p inv p k p kp p k p k p E E k p R a p R k p R a p R E =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑-+=--=--=--ρ，（4分）由最后一行：2)1(11)1()()()(--=-∑-+-=p w p k p kp k p R a p R σρ（2分）由第一行：])(1[2)(2)1(2)(p p w p w ρσσ-=-，得到三个推导式。

（2分）五、有一信号)n (s ，其自相关函数 2,1,0,7.0)(±±==m m R ms ，被一零均值，方差为0.4的白噪)n (n 所淹没，)n (s 与)n (n 统计独立。

设计一个长度等于3的FIR 数字滤波器，其输出)n (y 使得]))n (s y(n)[(E 2－最小化。

（14分）解：根据均方误差最小准则得到W-H 方程：1,,2,1,0)()()(1-=-=∑-=N j m j R m h j R N m xx opt xs ，其中x=s+n ，表示输入信号，因为N=3，且)m (R )m (R )m (R n s xx +=，)m (R )]m n (s )n(n)s(n)[(E )]m n (s )n (x [E )m (R s xs =++=+=，代入W-H 方程得：2,1,0)]()()[()(n 2s s =-+∑-==j m j R m j R m h j R m opt （4分）把 2,1,0,7.0)(±±==m m R ms ，)m (4.0)m (R n δ=代入上式得三个方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∑+==∑+==∑+=====20m m -2opt 220m m-1opt 20m m -opt m)](20.4(m)[0.7h 0.7:2j m)](10.4(m)[0.7h 0.7:1j m)](0.4(m)[0.7h 1:0j －－－δδδ（4分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2opt opt opt 227.07.01)2(h )1(h )0(h 4.17.07.07.04.17.07.07.04.1解得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0517.01681.00.6121)2(h )1(h )0(h opt opt opt （4分） 所以设计的滤波器的传递函数为：-210517z .01681z .06121.0)z (H ++=-（2分）六、如何用AR 法进行谱估计？为什么AR 谱估计需要的数据比古典法短？（14分）（2分）在上图模型中，输入输出的功率谱关系为：2j 2w j x )e (H )e (P ωωσ=（3分）∑+=⇒∑+==-=-p1k 2k j )p (k 2wj x p1k k)p (k|e a 1|)e (P za 11)z (H AR ωωσ代入建模为例以（5分）古典法是通过DFT 法计算得到功率谱估计的，DFT 是把数据看成是周期重复的假设下做出的；AR 谱则是对延迟p 围外的自相关函数做预测延伸取得的，因而数据的有效围宽得多。

（4分）七、画出卡尔曼滤波的信号模型和一步递推法模型图。

（14分） 解：信号模型：（7分）一步递推法模型：（7分）⊕⊕(k)w 1X(k)X(k)试卷二答案和评分标准：一、n x 是零均值，方差为2xσ的白噪过程，把它先送入一个平均器，得)(211-+=n n n x x y ，然后再将ny 送给一个差分器1y y z --=n n n ，求n z 的均值、方差、自相关函数和功率谱密度。

（14分）解答： 1y y z --=n n n )x x (21)(212n 1-n 1--+-+=n n x x )(212--=n n x x （2分）))x x (21(E )z (E 2n n n =-=-（2分）)z (E 2n2z=σ)z (E n 2-])(41[E 22--=n n x x )]x 2x (41[E 22n n 22-+-=-n n x x =2x σ/2=)0(R n z （2分）)1(R n z =)z z (E 1n n +)]x x )((41[E 1n 1n 2-+---=n n x x =0)2(R n z =)z z (E 2n n +)]x x )((41[E n 2n 2--=+-n n x x =－2x σ/4当|m|>=3，自相关都为0。

)m (R n z =)]2m (21)2m (21)m ([212x +---δδδσ（6分） )w (P n z ]e 21e 211[21jw2jw2-2x --=σ]cos2w 1[212x -=σ（2分）二、一个一阶递归滤波器，输入是零均值、方差为1的白噪声，滤波方程是11<+=-a bx ay y nn n证明：ωωcos 21)(22a ab e P j y -+=； 求)(m R y 。

（14分）解：2)()()(ωωωj j x j y e H e P e P =，（2分）对滤波方程求传递函数：11)(--=az bz H ，则ωωcos 21)(222a ab e H j -+=，（4分）而1)(=ωj x e P ，所以得证：ωωcos 21)(22a a b e P j y -+=（2分） )()()()(m h m h m R m R x y *-*=，而)()(m m R x δ=，)()(m u ba m h m =，)()(m u ba m h m-=--（3分）∑-=∑--=-*=-∞=-+∞-∞=---02222)()()()()()(n n m n n n m m m y n m u a a b n u a n m u a b m u a m u a b m Rm m m n n m m n n m n n m a ab a a b a a b m a a b a a b m n m u a a b 222222220220221)1/(,0)1/(,0)(-=⎪⎩⎪⎨⎧-=∑<-=∑≥=∑+=--+∞=+∞=+∞=（3分）三、估计N 点长的、零均值、实序列)(n x 的功率谱)(ˆωx S ，用Welch 法过程如下：.)(1)(ˆ;)(M 1)(S ),(X FFT ,2M ,)n (w )n (x L k N )n (x 12i i i ∑==⨯=k i ix i S kU S X ωωωωω，得到然后的幂次点长，为补零至加窗点长的小段，段点长分成证明：如果各段数据互相独立，则Welch 法谱估计的均值是⎰-=+-ππλλωλπωd W S S E xx )()(21)](ˆ[，其中210)(1)(∑=-=-M n nj en w MU W ωω；（8分）归一因子U 的作用是使得估计的均值渐进无偏，即当M 不断增加时有)()](ˆ[ωωx x S S E =。