a
z ) x
f2 (b
z ) x
0，
z x
cf1
af1
bf
2
两端对
y
求偏导：
f1 (a
z ) y
f2 (c b
z ) y
0，
z y
cf
2
af1
bf
2
故 a z b z =c x y
2+1 分 1+1 分 1分
13、判断级数 (1)n (n!)2 的敛散性。
n 1
(2n)!
解： an1 ((n 1)!)2 an (2n 2)!
17、计算 zdV ，其中 是由 x2 y2 z2 4z 和 x2 y2 z2 2z 所围的空间区域。
解：利用球面坐标， 可表示为 2cos r 4cos, 0 2 , 0 ， 2
A、 2x 2y
B、 2x 2y
C、 2x 2
D、 2x 2
2、对于二元函数 f x, y在点 x0, y0 处，下列关系正确的是
（D）
A、连续是偏导数存在的充要条件。
B、偏导数存在是可微的充要条件。
C、具有方向导数是可微的充分条件。
D、偏导数连续是可微的充分条件。
3、设 D (x, y) 0 x2 y2 a2 (a 0) ，则二重积分 e d x2y2 D
2分
(n!)2 (n 1)2 1 1，级数绝对收敛 (2n)! (2n 1)(2n 2) 4
1分
2分
1分
草稿区
1+1 分 2分 2分
第 3页 (共 5 页)
得分 评卷人
四.计算下列各题：（每小题 6 分，共 24 分）
15、计算 1 x y d ，其中 D (x, y) 0 x 1,0 y 1 。
1
；
3
题号
一
二
三
四
五
六
7 、 曲 面 z x2 y 2 3 上 平 行 于 平 面 2x 2y z 6 的 切 平 面 方 程 为
得分
15
15 24 24
14
8
2x 2y z 5 0 ；
得分 评卷人
一. 单项选择题：（每小题 3 分，共 15 分）
8、若 D (x, y) x y 1 , 则二重积分 x ydxdy D
我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作
弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。 6、 u x2 y2 z2 x y z 在点 (0,0,0) 处沿 (0,0,0) 到 (1,1,1) 的方向导数为
应试人
应试人学号
应试人所在院系
第 1页 (共 5 页)
成
上海大学 2011～2012 学年 春 季学期试卷 A 卷 绩
A、 (un vn )
n1
B、 unvn
n 1
C、 ( un vn )
n1
D、 maxun , vn
n 1
微积分 A（三）（课程号 01014098）参考答案和评分标准
应试人声明：
得分 评卷人
二. 填空题：（每小题 3 分，共 15 分）
（C）
草稿区
第 2页 (共 5 页)
得分 评卷人
三.计算下列各题：（每小题 6 分，共 24 分）
11、设 z (1 cos x)sin y 1 ，求 dz 。
解： z sin x(sin y 1) 1 cos xsin y ， z cos y 1 cos xsin y1 ln 1 cos x ……2+2 分
D
1
1 x
1
1
解： 1 x y d 0 dx0
(1 x y)dy dx (x y 1)dy
0
1 x
D
………2+2 分
1 0
(1
x)2
1 (1 2
x
)
2
dx
1 1 0 2
1 (1 x)2 2
x(1
x)
dx
1( 1 x x2 )dx ……1 分 02
1
1分
3
1
解：记 I f (x, y)d ，在 D 上积分等式两端，并注意到 D 的面积为 ，有
D
4
I 1 x2 y2 d 8 I ，解出 I 1 1 x2 y2 d
D
4
3D
I 1 3
2
d
2
cos 0
1 r2 rdr 2
2
(1 sin3 )d
2 (
2)
90
92 3
2分
1分
dx
sin u x
积分得 ln sin u ln x C ，化简并回代 u y 得通解 sin y Cx
x
x
12、设隐函数 z z x, y 由方程 f cx az,cy bz 0 所确定，且 af1 bf2 0 ,
求 a z b z 的值。 x y
解：两端对
x
求偏导：
f1 (c
所以 f (x, y) 1 x2 y2 16 ( 2) 9 2 3
草稿区
1+1 分 1分
1 x sin y
1 sin y y
1
dx
dy
dy dx (1 y) sin ydy
0xy
0y
y2
0
( y 1) cos y 1
1
cos ydy 1 sin1
00
……………3+1 分 ……………1+1 分
(A)
A、 (ea2 1)
B、 2 (ea2 1)
C、 (ea 1)
D、 2 (ea 1)
4、下列级数中收敛的是
（B）
A、 sin n
n 1
B、
(1)n
n1 ln(1 n)
C、
1,
n1 n n n
D、
1散，则下列级数一定发散的是
n 1
n 1
16、计算二次积分 dx
x sin y dy 。
0xy
解：由于 sin y 没有初等形式的原函数，考虑改变积分顺序 y
18、设 f (x, y) 是 D 上的连续函数，且 f (x, y) 1 x2 y2 8 f (u, v)d ，试求 f (x, y) ，
D
其中 D (x, y) x2 y2 x 。
0
；
1
x
1
y
9、与 dx f (x, y)dy 对应的另一顺序的二次积分为
0
x2
0 dyy f (x, y)dx
；
1、设 f (x y, xy) x2 y2 ，则 f (x, y) f (x, y)
x
y
（ C ） 10、微分方程 xdy y ln ydx 0 的通解为
y eCx
。
x
y
dz sin x(sin y 1)1 cos x sin y dx cos y 1 cos x sin y1 ln 1 cos x dy ………2 分
14、求微分方程 dy tan y y 的通解。
dx
xx
解：令 u y ，则 dy u x du ，
x dx
dx
代入方程得 x du tan u ，即 cos udu dx