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一、等差数列选择题1.在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =,则11S 的值是( ) A .60B .11C .50D .552.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则3810b b b =( )A .1B .8C .4D .23.等差数列{}n a 中,已知14739a a a ++=,则4a =( ) A .13B .14C .15D .164.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10- B .8C .12D .145.定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n,又2n n a b =,则1223910111b b b b b b +++=( ) A .817 B .1021C .1123 D .9196.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n -B .nC .21n -D .2n7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列8.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( ) A .29B .38C .40D .589.题目文件丢失!10.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<<m m m S S S ++,若0n S >,则n 的最大值为( ) A .2mB .21m +C .22m +D .23m +11.已知正项数列{}n a 满足11a =,1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+,记{}n b 的前n 项和为n T ,则20T 的值为( ) A .1B .2C .3D .412.设等差数列{}n a 的公差d ≠0,前n 项和为n S ,若425S a =,则99S a =( ) A .9B .5C .1D .5913.已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19B .20C .21D .2214.在等差数列{}n a 中,()()3589133224a a a a a ++++=,则此数列前13项的和是( ) A .13B .26C .52D .5615.已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =,则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =( )A .4或5B .5或6C .4D .516.在数列{}n a 中,11a =,且11nn na a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .211n n -+B .212n n -+C .221n n -+D .222n n -+17.已知数列{}n a 中,12(2)n n a a n --=≥,且11a =,则这个数列的第10项为( ) A .18B .19C .20D .2118.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )A .3、8、13、18、23B .4、8、12、16、20C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2219.已知数列{}n a 中,11a =,22a =,对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+,则10a 等于( ) A .10BC .64D .420.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+,*n N ∈,则存在数列{}n b 和{}n c 使得( )A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列C .·n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 二、多选题21.已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和,且S 5>S 6>S 4,以下有四个命题,其中正确的有( )A .数列{}n a 的公差d <0B .数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C .S 10>0D .S 11>022.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >23.题目文件丢失!24.已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈,且12a =,则( ) A .31a =- B .201912a =C .332S =D . 2 01920192S =25.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4B .-2C .0D .226.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩,135a =,则数列{}n a 中的项的值可能为( ) A .15B .25C .45D .6527.已知数列{}2nna n +是首项为1,公差为d 的等差数列,则下列判断正确的是( ) A .a 1=3 B .若d =1,则a n =n 2+2n C .a 2可能为6D .a 1,a 2,a 3可能成等差数列28.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =,411a =,则( ) A .45n a n =-B .23n a n =+C .223n S n n =-D .24n S n n =+29.下列命题正确的是( )A .给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B .若等差数列{}n a 的公差0d >,则{}n a 是递增数列C .若a ,b ,c 成等差数列,则111,,a b c可能成等差数列 D .若数列{}n a 是等差数列,则数列{}12++n n a a 也是等差数列30.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n (n ∈N *),公差d ≠0,S 6=90,a 7是a 3与a 9的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .a 1=22B .d =-2C .当n =10或n =11时,S n 取得最大值D .当S n >0时,n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.D 【分析】根据题中条件,由等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =, 所以()1111161111552a a S a +===.故选:D. 2.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,所以27720a a -=,解得72a =或70a =(舍);又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,所以33810371178b b b b b b b ===.故选:B. 3.A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=,代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=,所以1474339a a a a ++==,解得:413a =, 故选:A 4.D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=,则()177477142a a S a +=== 故选:D 5.D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和,然后利用前n 项和求解通项公式,最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得:12n n S n=,则:22n S n =, 当1n =时,112a S ==,当2n ≥时,142n n n a S S n -=-=-, 且14122a =⨯-=,据此可得 42n a n =-, 故212nn a b n ==-,()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 据此有:12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选:D 6.B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组,求解出首项和公差,则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=,633a a =+,所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩,所以111a d =⎧⎨=⎩,所以()111n a n n =+-⨯=,故选:B. 7.D 【分析】根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D. 8.A 【分析】根据等差中项的性质,求出414a =,再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列,所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选:A.9.无10.C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得,10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+,()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+, ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C. 【点睛】关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负. 11.B 【分析】 由题意可得221114n n a a +-=,运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-,求得14n b =,然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解:由11a =,1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭,得221114n n a a +-=, 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差,以1为首项的等差数列, 所以2114(1)43n n n a =+-=-, 因为0n a >,所以n a =,所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==,所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=, 故选:B 【点睛】关键点点睛:此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和,解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=,从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差,以1为首项的等差数列,进而可求n a =,14nb ==,然后利用裂项相消法可求得结果,考查计算能力和转化思想,属于中档题 12.B 【分析】由已知条件,结合等差数列通项公式得1a d =,即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=,即有13424a a a a ++=,得1a d =,∴1999()452a a S d ⨯+==,99a d =,且0d ≠, ∴995S a =. 故选:B 13.B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,再由等差数列的通项公式可得1nn a ,进而可得1n a n=,再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,所以12211n n n a a a ++=+, 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,设其公差为d ,由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅, 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩,解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以()1111n n d n a a =+-=,所以1n a n=, 所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立,又10020n n +≥=,当且仅当10n =时,等号成立, 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 14.B 【分析】利用等差数列的下标性质,结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质,可得3542a a a +=,891371013103a a a a a a a ++=++=, 因为()()3589133224a a a a a ++++=, 可得410322324a a ⨯+⨯=,即4104a a +=, 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选:B. 15.A 【分析】由2219a a =,可得14a d =-,从而得2922n d dS n n =-,然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解:设递减的等差数列{}n a 的公差为d (0d <),因为2219a a =,所以2211(8)a a d =+,化简得14a d =-,所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-, 对称轴为92n =, 因为n ∈+N ,02d<, 所以当4n =或5n =时,n S 取最大值, 故选:A 16.D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=,再由累加法计算出2122n n n a -+=,进而求出n a .【详解】 解:11nn na a na +=+, ()11n n n a na a ++=∴,化简得:11n n n n a a a a n ++=+, 两边同时除以1n n a a +并整理得:111n nn a a +-=,即21111a a -=,32112a a -=,43113a a -=,…,1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈, 将上述1n -个式子相加得:213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-, 即111(1)2n n n a a --=, 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈, 又111a =也满足上式, 212()2n n n n z a -+∴=∈, 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选:D. 【点睛】 易错点点睛:利用累加法求数列通项时,如果出现1n -,要注意检验首项是否符合. 17.B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥,且11a =,∴数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,通项公式为()12121n a n n =+-=-,10210119a ∴=⨯-=,故选:B. 18.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21.故选:C 19.D 【分析】利用等差中项法可知,数列{}3n a 为等差数列,根据11a =,22a =可求得数列{}3n a 的公差,可求得310a 的值,进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+,由等差中项法可知,数列{}3n a 为等差数列,由于11a =,22a =,则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=,所以,33101919764a a d =+=+⨯=,因此,104a .故选:D. 20.D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+,∴当1n =时,有110S a a ==≠;当2n ≥时,有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅, 又当1n =时,01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式,1()2n n a a bn b -∴=-+⋅,令n b a b bn =+-,12n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅,0b ≠,所以{}12n bn -⋅即不是等差数列,也不是等比数列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力.二、多选题21.AC 【分析】由564S S S >>,可得650,0a a ,且650a a +>,然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解:因为564S S S >>,所以650,0a a ,且650a a +>,所以数列的公差0d <,且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5,所以A 正确,B 错误, 所以110105610()5()02a a S a a +==+>,11111611()1102a a S a +==<, 所以C 正确,D 错误, 故选:AC 22.ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确; 对于选项B :()()118910181818022a a a a S ++===,故选项B 正确;对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可.23.无24.ACD 【分析】先计算出数列的前几项,判断AC ,然后再寻找规律判断BD . 【详解】由题意211122a =-=,311112a =-=-,A 正确,3132122S =+-=,C 正确;41121a =-=-,∴数列{}n a 是周期数列,周期为3. 2019367331a a a ⨯===-,B 错;20193201967322S =⨯=,D 正确.故选:ACD . 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和,解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质:周期性,然后利用周期函数的定义求解. 25.AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++,利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<,只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立,然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=,11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++,则11111n n a a n n n n --=---,12111221n n a a n n n n ---=-----,,2111122a a -=-, 上述式子累加可得:111n a a n n -=-,122n a n n∴=-<,()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立,对A ,当4a =-时,不等式()()2540t t +-≤,解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,包含[]1,2,故A 正确;对B ,当2a =-时,不等式()()2320t t +-≤,解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,包含[]1,2,故B 正确;对C ,当0a =时,不等式()210t t +≤,解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,不包含[]1,2,故C 错误;对D ,当2a =时,不等式()()2120t t -+≤,解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,不包含[]1,2,故D 错误,故选:AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立,考查了转化与划归的思想,属于中档题. 26.ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =,依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ,能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列,得项的所有可能值,判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩,135a =,依次取1,2,3,4,...n =代入计算得,211215a a =-=,32225a a ==,43425a a ==,5413215a a a =-==,因此继续下去会循环,数列{}n a 是周期为4的周期数列,所有可能取值为:1234,,,5555. 故选:ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列,属于基础题. 27.ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为1112a =+,1(1)2n n a n d n =+-+,所以a 1=3,a n =[1+(n -1)d ](n +2n ).若d =1,则a n =n (n +2n );若d =0,则a 2=6.因为a 2=6+6d ,a 3=11+22d ,所以若a 1,a 2,a 3成等差数列,则a 1+a 3=a 2,即14+22d =12+12d ,解得15d =-. 故选ACD 28.AC 【分析】由535S =求出37a =,再由411a =可得公差为434d a a =-=,从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知,53535S a ==,即37a =,所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=, 所以()4445n a a n d n =+-=-,()2451232n n n S n n --==-.故选:AC.【点睛】本题考查等差数列,考查运算求解能力. 29.BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项:给出数列的有限项不一定可以确定通项公式;B 选项:由等差数列性质知0d >,{}n a 必是递增数列;C 选项:1a b c ===时,1111a b c===是等差数列,而a = 1,b = 2,c = 3时不成立; D 选项:数列{}n a 是等差数列公差为d ,所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列;故选:BCD 【点睛】本题考查了等差数列,利用等差数列的性质判断选项的正误,属于基础题. 30.BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由S n >0解不等式可判断D . 【详解】由公差60,90d S ≠=,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由a 7是a 3与a 9的等比中项,可得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化简得110a d =-,②由①②解得120,2a d ==-,故A 错,B 对;由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈,可得10n =或11时,n S 取最大值110,C 对;由S n >0,解得021n <<,可得n 的最大值为20,D 错; 故选:BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.。

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