不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系 统或结构的局限性质或局域结构与整体类似。
自相似的举例
在欧氏几何中，点线面及立体几何等规则形体是 对自然界中事物的高度抽象，也是欧氏几何学的研究 范畴，这些人类创造出来的几何体可以是严格对称的， 也可以在一定的测量精度范围，制造出两个完全相同 的几何。然而自然界中广泛存在的则是形形色色不规 则的形体，如地球表面的山脉，河流，海岸线等，这 些自然界产生的形体具有自相似特性，它们不可能是 严格地对称的，也不存在两个完全相同的形体。
分形理论研究材料的断裂表面，材料的 结构，薄膜的生长等方面非常重要；
有限元在材料力学分析及优化设计上有广泛的应用，
是分析内应力、热应力及残余应力等的有效方法；
有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的 问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的 互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导 求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个 解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于 大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应 各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有 限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能 简便提取信息，了解计算结果。
分形图形(4)
Koch雪花图
Sierpinski三角形
Kohn雪花和Sierpinski三角形也是比较典型的分形图形，它们都具有严 格的自相似特性（仔细看看，是不是这样？）。但是在前面说述的 Mandelbrot集合却并不严格自相似。所以，用“具有自相似”特性来定义 分形已经有许多局限了.
分形的现象(1)
3．分形和线性近似处理方法的区别
长期以来，自然科学工作者，尤其是物理学家和数学家，由于受欧几里得几何 学及纯数学方法的影响，习惯于对复杂的研究对象进行简化和抽象，建立起各种理 想模型（绝大多数是线性模型），把问题纳入可以解决的范畴。这种线性的近似处 理方法也很有效，在许多学科中得到了广泛的应用，解决了许多理论和实际问题， 取得了丰硕的成果，推动了各门学科的发展。但是在复杂的动力学系统中，简单的 线性近似方法不可能认识与非线性有关的特性，例如：流体中的湍流、对流等。虽 然从数学上，这种近似方法也可以对一些极个别的例子可以在某一特定条件下，求 出其特解以外，大多数至今都有解不出来。对于复杂一些的非线性系统和过程，则 连微分方程（组）也列不出来。而分形则是直接从非线性复杂系统的本身入手，从 未经简化和抽象的研究对象本身去认识其内在的规律性，这一点就是分形理论与线 性近似处理方法本质上的区别。
4 分形的特征
❖4.1 自组织现象 ❖4.2 自相似性 ❖4.3 标度不变性
4.1 自组织现象
定义 就是在某一系统或过程中自发形成时空有
序结构或状态的现象，也称之为合作现象或非 平衡非线性现象。
自组织现象举例(1)
1. 化学振荡和化学钟
把Ce2(SO4)3、KBrO3、CH2（COOH）2、H2SO4及几 滴亚铁灵（氧化还原指示剂）混合在一起并搅拌，再把 得到的均匀混合物倒入试管，试管里立刻会发生快速的 振荡；溶液周期地由红到蓝地改变颜色，一会儿红色， 一会儿蓝色，象钟摆一样发生规则的时间振荡。
从飞机上俯视海岸线，可以发现海岸线并不是规则的光滑 的曲线，而是由很多半岛和港湾组成的，随着观察高度的降低 （即放大倍数增大），可以发现原来的半岛和港湾又是由很多较 小的半岛和港湾组成的。当你沿海岸线步行时，再来观察脚下的 海岸线，则会发现更为精细的结构——具有自相似特性的更小的 半岛和港湾组成了海岸线。如此一来，一个普通的问题就被提出 来，一条海岸线的长度能精确测量吗？答案是否定的，人们无法 精确地测量海岸线的长度，因为随着测量的尺子的长度的减小， 海岸线的长度会逐渐增大。应用分形理论，人们认识到海岸线的 长度是不确定的，它依赖于所使用的测量单位。
分形的现象(2)
D. 流体力学中的湍流、对流、电子线路的电噪声、某些化 学反应等，远离平衡的宏观体系中自发产生时空有序状态 （结构）等，这些变化过程中都不是过去的简单重复，而是 不可逆地向前变化、发展的，这些变化过程中都包括着偶然 性和必然性的统一。 以上A、B、C、D这些现象是不可逆性和随机性。
分形理论及其在材料科学中的应用 Fractal Theory and Its
Application in Materials Science
现代 数学方法在材料科学中的应用
现代数学方法
分形学
拓扑学 有限元分析 小波分析 高斯分析
➢数学是科学技术中一门重要的基础学科，在长期发展 过程中，它不仅形成了自身完美、严谨的理论体系， 而且成为其它科学技术必须的研究手段和工具。 ➢随着科学技术的飞速发展，数学的科学地位也发生了 巨大的变化。现代数学在理论上更加抽象，方法上更 加综合，更加精细，应用也更加广泛。 ➢数学与材料的交融产生了许多新的生长点， 数学 直接为材料科学中非线型现象的定性定量分析提供了 精确的语言。
分形的含义(1)
A. 对于非线性科学而言，经典力学、量子力学、相对论都 无用武之地，必须有新理论来研究这些科学难题。近年来， 混沌（chaos）、分形（Fractal）、耗散结构（dissipative structure）、协同学（synergetics）、负熵论（negentropics） 等理论从不同角度来研究非线性不可逆问题，形成了不同 的学派。
分形的含义(2)
B. 分形是由美国IBM（International Business Machine）公司 研究中心物理部、哈佛大学数学系教授曼德勃罗特（Benoit B.Mandelbrot）在1975年首次提出的，其原意是不规则的、分 数的、支离破碎的，1977年，他出版了第一本著作“分形：形 态、偶然和维数”（Fractal: form, Chance and Dimension）, 标志着分形理论的正式诞生。1982年，他出版了著名的专著 “自然界的分形几何学”（The Fractal Geometry of Nature）, 至此，分形理论初步形成。因此，他也荣获了1985年的 Barnard奖。
❖举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形
上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研 究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有 不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，欧拉在解 决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考 虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。
非线性不可逆现象： A. 天空中的白云的形态似乎和望远镜的放大倍数无关，不管 放大倍数多大，它的形态几乎是保持不变； B. 气象预报：长期的气象预报是不可能很准确的，因为随机 性总是存在的，而它是无法事先预见的。 C. 另外对一个特定的地点而言，完全相同的天气（指气温、 湿度、风速、风向、阳光、雨、雾等参数）也是绝对不会重 现的。
分形的含义(3)
据曼德勃罗特教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚， 他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉 丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无 规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment （“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗特一直使用 英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之 尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗特是想用此词 来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何 对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变 幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天 繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对 象都是分形。
自组织现象举例(2)
2. 空间有序结构 将一石英管用机械泵抽真空，然后通过高频感 应炉的感应线圈对石英管施加一个高频交变电场， 这时在石英管中就可以看到明暗相间的光环。激光 也是光的频率和位相十分有序的。
自组织现象举例(3)
3.生物链
4.2 自相似性
定义： 一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分 形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
分形图形(3)
Mandelbrot集的放大(标度不变性)
月球模型(分形技术生成)
除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。上面的动 画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论 放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是，注意观察上图，我们会发 现：每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并 不要求具有完全的自相似特性。
有规分形和无规分形
数学家们设想了许多不规则的几何图形，瑞典数学家科 赫（H.Von Koch）于1904年首次提出了Koch曲线，如图（a） 它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角 为60℃的二条等长的折线来代替，形成一个生成元，然后再 把每个直线段用生成元进行代换，经无穷多次迭代后就呈现 出一条有无穷多弯曲的Koch曲线，用它来模拟自然界中的海 岸线是相当理想的。
从图中可以看出，Koch曲线是个分形，具有自相似性。 由于它是按一定的数学法则生成的，因此具有严格的自相似 性，这类分形通常称之为有规分形。而自然界里的分形，其 自相似性并不是严格的，而是在统计意义下的自相似性，海 岸线就是其中的一个例子。凡满足统计自相似性的分形称之 为无规分形。
对于Koch曲线来说，把它分成了四个等份，而每一等份是原来尺寸的 (1/3)。所 以有 N = 4 和 r = 1/3。由 d = (log N) / (log (1/r))，可以计算 d = (log 4) / (log 3) ≈ 1.261859507143。