1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11

（2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn（切记：公比含字母时一定要讨论）

3．错位相减法：比如.,,2211的和求等比等差nnnnbabababa

4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：111)1(1nnnn ； 1111()(2)22nnnn

)121121(21)12)(12(1nnnn !)!1(!nnnn

5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6．合并求和法：如求22222212979899100的和。

7．倒序相加法：

8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等

（二）主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；

2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；

3．转化思想的运用；

（三）例题分析：

例1．求和：①个nnS111111111

②22222)1()1()1(nnnxxxxxxS

③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和nS

思路分析：通过分组，直接用公式求和。

解：①)110(9110101011112kkkka个

])101010[(91)]110()110()110[(9122nSnnn8110910]9)110(10[911nnnn

②)21()21()21(224422nnnxxxxxxS nxxxxxxnn2)111()(242242

（1）当1x时，nxxxxnxxxxxxSnnnnnn2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222

（2）当nSxn4,1时

③kkkkkkkkkkak23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2

2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221nnnnnnnaaaSnn

)25)(1(61nnn

总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比11qq或讨论。

2．错位相减法求和

例2．已知数列)0()12(,,5,3,112aanaan，求前n项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列120,,,,naaaa对应项积，可用错位相减法求和。

解：1)12(53112nnanaaS

2)12(5332nnanaaaaS

nnnanaaaaSa)12(22221)1(:21132

当nnnnaaaSaa)12()1()1(21)1(,121时

21)1()12()12(1aananaSnnn

当2,1nSan时

3.裂项相消法求和

例3.求和)12)(12()2(534312222nnnSn

思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.

解: )121121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22kkkkkkkkkkak

12)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121nnnnnnnnaaaSnn练习:求nnanaaaS32321 答案:

)1()1()1()1()1(2)1(2aaaanaaannSnnn

4.倒序相加法求和

例4求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210

思路分析：由mnnmnCC可用倒序相加法求和。

证：令)1()12(53210nnnnnnCnCCCS

则)2(35)12()12(0121nnnnnnnnCCCCnCnS mnnmnCC

nnnnnnCnCnCnCnS)22()22()22()22(2:)2()1(210有

nnnnnnnnCCCCnS2)1(])[1(210 等式成立

5．其它求和方法

还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。

例5．已知数列nnnnSnaa求],)1([2,。

思路分析：nnna)1(22，通过分组，对n分奇偶讨论求和。

解：nnna)1(22，若mkkmnmSSmn212)1(2)2321(2,2则

)1(2)12()2321(2nnmmmSn

若)12(22)12(])1(2[22)12(,1222212mmmmmmaSSSmnmmmmn则

22)1()1(224222nnnnmm

)(2)()1(2为正奇数为正偶数nnnnnnSn

预备：已知nnnaaaaxaxaxaxf,,,,)(321221且成等差数列，n为正偶数， 又nfnf)1(,)1(2，试比较)21(f与3的大小。

解：naaaaafnaaaafnnn13212321)1()1(2222)(121dnaandnnnaann

12122)1(111naadndnaan

nnnfxnxxxxf)21)(12()21(5)21(321)21()12(53)(3232

可求得nnnf)21)(12()21(3)21(2，∵n为正偶数，3)21(f

巩固练习

1．求下列数列的前n项和nS：

（1）5，55，555，5555，…，5(101)9n，…；

（2）1111,,,,,132435(2)nn；

（3）11nann；

（4）23,2,3,,,naaana；

（5）13,24,35,,(2),nn；

（6）2222sin1sin2sin3sin89．

2．已知数列{}na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS．

解：（1）555555555nnS个5(999999999)9n个

235[(101)(101)(101)(101)]9n

235505[10101010](101)9819nnnn．

（2）∵1111()(2)22nnnn，

∴11111111[(1)()()()]2324352nSnn1111(1)2212nn．

（3）∵1111(1)(1)nnnannnnnnnn

∴11121321nSnn (21)(32)(1)nn11n．

（4）2323nnSaaana，

当1a时，123nS…(1)2nnn，

当1a时，2323nSaaa…nna ，

23423naSaaa…1nna，

两式相减得 23(1)naSaaa…11(1)1nnnnaaananaa，

∴212(1)(1)nnnnanaaSa．

（5）∵2(2)2nnnn，

∴ 原式222(123…2)2(123n…)n(1)(27)6nnn．

（6）设2222sin1sin2sin3sin89S，

又∵2222sin89sin88sin87sin1S，

∴ 289S，892S．

2．已知数列{}na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS．

解：奇数项组成以11a为首项，公差为12的等差数列，

偶数项组成以24a为首项，公比为4的等比数列；

当n为奇数时，奇数项有12n项，偶数项有12n项，

∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423nnnnnnnS，

当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项，

∴2(165)4(14)(32)4(21)221423nnnnnnnS，

所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23nnnnnnSnnn为奇数为偶数．

高中数学经典的解题技巧和方法（等差数列、等比数列）

跟踪训练题 一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1，a3=3，则S4=( )

(A)12 (B)10 (C)8 (D)6

2.设数列{xn}满足log2xn+1=1+log2xn,且x1+x2+x3+…+x10=10,则x11+x12+x13+…+x20的值为( )

(A)10×211 (B)10×210

(C)11×211 (D)11×210

3.已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是( )

(A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在

4.已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=( )

A．35 .33 C

5. 设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是( )

A、 B、

C、 D、

6.（2010·潍坊模拟）已知数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且有S9

A．S9

C．S7与S8均为Sn的最大值 D．a8=0

二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）

7.将正偶数划分为数组：（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，则第n组各数的和是 .（用含n的式子表示）

8.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2 009=_______;a2

014=_______.

9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(10,a10)的直线的斜率为_______.

三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）