x11 x x 12 x 1n x 21 x k1 x 22 x k 2 x 2 n x kn
βˆ
ˆ 1 ˆ 2 ˆ k

在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为

j 也被称为 偏回归系数 ，表示在其他解释变
量保持不变的情况下， Xj 每变化 1 个单位时， Y 的均值E(Y)的变化; 或者说 j给出了 Xj 的单位变化对 Y均值的“直 接”或“净”（不含其他变量）影响。
总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为
Y X β μ
其中
Y 1X 1 1 2 1 Y 1 X 2 2 2 2 其 中 ： Y X 1X Y 2 n n k
i
(*) (**)
X
i
ji i
e 0
(*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组的另一 种写法
⃟样本回归函数的离差形式
ˆ ˆ ˆ y x x x e i 1 1 i 2 2 i k k i i


i=1,2…n
其矩阵形式为
ˆ e y x β
其中 ：
y y1 y2 y n

也被称为总体回归函数的随机表达形式。它 的 非随机表达式为: 方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。
模 型 ： Y X X u t 1 2 t 2 t k k t t

E ( Y | X , X , X ) X X X i 2 i 3 i ki 1 2 2 i 3 3 i k ki
i ji , j 1 , 2 , , n
Cov ( , ) E ( ) 0 i j i j
假设5，解释变量与随机项不相关 j 1 , 2 ,k Cov ( X , 0 ji i) 假设6，随机项满足正态分布
2 N ( 0 , ) i ~
上述假设的矩阵符号表示 式：
ˆ X Y X X β 0
得到：
ˆ X Y X X β
1 ˆ β ( X X ) X Y
于是：
⃟正规方程组 的另一种写法
对于正规方程组
ˆ X Y X X β
ˆ ˆ X X β X e X X β
于是
X e0
或
e 0
多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的 解释变量有多个。 一般表现形式：
模 型 ： Y X X u t=1,2…,n t 1 2 t 2 t k k t t
X 其中:k-1为解释变量的数目， j称为回归参数 （regression coefficient）。 习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该 虚变量的样本观测值始终取1。这样： 模型中解释变量的数目为（k）






解该 k 个方程组成的线性代数 方程组，即可以 k 个 待估参数的估计值
正规方程组的矩阵形式
n X 1 i 2 X X 1 i 1 i X X ki kX i1 i ˆ 1 1 X 1 Y k i 0 1 ˆ X X X Y 1 iX k i 11 X 12 1 n 2 1 2 ˆ X X X X Y k i 1 k 2 k n n k k
1 ˆ β ( x x ) x Y
ˆ ˆ ˆ Y X X
0 11 k k
⃟方差的无偏估计量为
ˆ
2
e
e e nk nk
2 i
四、参数估计量的性质
在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通 最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有： 线性性、无偏性、有效性。
ˆ 1 ˆ 2 ˆ k

二、多元线性回归模型的基本假定
假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各 X之间互不相关（无多重共线性）。
假设2,3,4，随机误差项具有零均值、同方差 及不序列相关性
2 2 Var ( ) E ( ) i i
E ( i ) 0
假设1，nk矩阵X是非随机的，且X的秩=k，即X满 秩。
( E 1) 1 E ( μ ) E 假设2,3,4 0 E n (n)
12 1n 1 ) E E ( μ μ E 1 n 2 n n n 1
1 2 1 2 x ( X X ) Q ji ji j j n n
或
1 xx Q n
其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量 的离差为元素组成的nk阶矩阵
x11 x k1 x x x 1 n kn
假设8，回归模型的设定是正确的。
2 ˆ) Q e ( Y Y i i i 1 i 1 n

ˆ ˆX ˆX Y i 1 2 2 i k ki
i 1
n


2
于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
ˆ ˆ X ˆ X Y 1 2 2i k ki i ˆ ˆ X ˆ X YX 1 2 2i k ki i 1i ˆ ˆ X ˆ X YX i ki 1 2 2i k ki
u X 1 k 1 X u k 2 2 U X u k n n
样本回归函数：用来估计总体回归函数
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Y X X X i 1 2 2 i 3 3 i k ki
其随机表示式:
ˆ ˆ ˆ ˆ Y X X X e i 1 2 2 i 3 3 i k ki i
即
ˆ X ( X X) β Y
由于X’X满秩，故有
1 ˆ β ( X X ) X Y
将上述过程用矩阵表示如下：
即求解方程组：
ˆ) ˆ) ( Y X β ( Y X β 0 ˆ β
ˆ ˆ ˆ ˆ ( Y Y β X Y Y X β β X X β ) 0 ˆ β
§3.2 多元线性回归模型的估计
估计方法：OLS、ML或者MM 一、普通最小二乘估计
*二、最大或然估计
*三、矩估计
四、参数估计量的性质
五、样本容量问题
六、估计实例
一、普通最小二乘估计
对于随机抽取的n组观测值
( Y , X ), i 1 , 2 , , n , j 0 , 1 , 2 , k i ji

ˆ X ˆ Y β



ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总 体回归函数中随机扰动项i的近似替代。 样本回归函数的矩阵表达:
或
e e1 e2 e n
ˆ Y X β e
其中：
ˆ
同时，随着样本容量增加，参数估计量具有： 渐近无偏性、渐近有效性、一致性。 1、线性性
1 ˆ β ( X X ) X Y CY
其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与固定的X有关的行向量
2、无偏性
ˆ ) E((XX) 1 XY) E(β E((XX) 1 X(Xβ μ )) β (XX) 1 E(Xμ ) β
GDPP： 人均国内生产总值（1990年不变价）
CONSP：人均居民消费（以居民消费价格指数（1990=100）缩减）。
表 2.5.1 年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 人均居民消费 CONSP 395.8 437.0 464.1 501.9 533.5 572.8 635.6 716.0 746.5 788.3 836.4 779.7 中国居民人均消费支出与人均 GDP（元 /人） 人均 GDP GDPP 675.1 716.9 763.7 792.4 851.1 931.4 1059.2 1185.2 1269.6 1393.6 1527.0 1565.9 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 人均居民消费 CONSP 797.1 861.4 966.6 1048.6 1108.7 1213.1 1322.8 1380.9 1460.6 1564.4 1690.8 人均 GDP GDPP 1602.3 1727.2 1949.8 2187.9 2436.1 2663.7 2889.1 3111.9 3323.1 3529.3 3789.7
第三章 经典单方程计量经济学模 型：多元回归
• • • • • • 多元线性回归模型 多元线性回归模型的参数估计 多元线性回归模型的统计检验 多元线性回归模型的预测 回归模型的其他形式 回归模型的参数约束
§3.1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
一、多元线性回归模型
2、满足基本要求的样本容量
从统计检验的角度： n30 时，Z检验才能应用； n-k8时, t分布较为稳定 一般经验认为: 当n30或者至少n3k时，才能说满足模型 估计的基本要求。
模型的良好性质只有在大样本下才能得 到理论上的证明
一、中国居民人均消费模型
例3.1 考察中国居民收入与消费支出的关系。
i i
X Ki i
1i
i
X E( ) Ki i