欢迎阅读
第二章线性规划的对偶问题
习题
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题
(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4
st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤5
4x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4
x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1
x j≥0（j＝1,2,3,4）
其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。

2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3
st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60
2x1＋x2＋2x3≤40
x1＋3x2＋2x3≤80
x j≥0 （j＝1,2,3）
（1）写出其对偶问题
（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；
欢迎阅读
欢迎阅读
（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；
（4）比较（2）和（3）计算结果。

2.6 已知线性规划问题max z＝10x1＋5x2
st. 3x1＋4x2≤9
5x1＋2x2≤8
x j≥0（j＝1,2）
（1）给出a，b，c，d，e，f，g的值或表达式；
（2）指出原问题是求目标函数的最大值还是最小值；
（3）用a+?a，b+?b分别代替a和b，仍然保持上表是最优单纯形表，求?a，?b满足的范围。

欢迎阅读
欢迎阅读
欢迎阅读
2.9 某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。

该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为30000千克。

已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30捆，或日记本30打，或练习本30箱。

已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸310千克，每打日记本用白坯纸340千克，每箱练习本用白坯纸3
80千克。

又知每生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打日记本获利3元，生产一箱练习本获利1元。

试确定：
（1）现有生产条件下获利最大的方案；
（2）如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40元，则该厂要不要招收临时工？如要的话，招多少临时工最合适？
2.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要A 、B 两种原料，生产消耗等参数如下表（表中
2.12 试从经济上解释对偶问题及对偶变量的含义。

2.13 根据原问题同对偶问题之间的对应关系，分别找出两个问题变量之间、解以及检验数之间的对应关系。

2.14 什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别，以及研究影子价格的意义。

2.15 试述对偶单纯形法的计算步骤，它的优点及应用上的局限性。

2.16 将a ij ，b ，c 的变化分别直接反映到最终单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解各自将会出现什么变化，有多少种不同情况以及如何去处理。

2.17 判断下列说法是否正确
(a)任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题；
欢迎阅读
欢迎阅读
(b)对偶问题的对偶问题一定是原问题；
(c)根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；
(d)若某种资源的影子价格等于k，在其它条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k；
(e)应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i<0，又x i所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；
(f)若线性规划问题中的bi，c,值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；
(g)在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j或在各约束中的相应系数a ij，反映到最终单纯形表中，除该列数。