60 3(人 / 小时)， 60 4(人 / 小时).
20
15
(1)p0
1
1
3 4
1； 4
(2)Ls
4
3 3
3(人)；
(3)Ws
1
1 43
1(小时)；
(4)
Ws
1
1.25；
1 1.25， 3.2，3.2 3 0.2(人 / 小时). 4
答：(1)顾客来打字不必等待的概率为 1；(2)打字室内顾客平均数为3人；(3)顾客在 4
Lq ＝>5 满足这个条件。但是还有一个条件是采用新装置后要求新系统中关卡空闲时间不超
过 10％，而经计算 P0 ' 0.25 即新系统的空闲率为 25％超出了要求，所以采用新装置是不
合算的。
某车间的工具仓库只有一个管理员，平均有 4 人/h 来令工具，到达过程为 Poisson 流；领 工具的时间服从负指数分布，平均为 6min。由于场地限制，仓库内领工具的人最多不能超 过 3 人，求： （1）仓库内没有人领工具的概率；
15pn
385
v1.0 可编辑可修改
(4)服务台降低服务强度，原因是因为系统中没有顾客的概率比重较大.
当＝15，＝10时，＝1.5.
(1)有效到达率e (1 pN ) 15 (1 0.37) 9.45,
C
(1
pN
)
15 10
(1
0.37)
0.945;
服务台的服务强度为
(2)系统中平均顾客数Ls
（2）增加 1 个工人后，此系统变成 M/M/2 排队系统
c
c
6 26
0.5
1,
6 6
1,
pn
2
n2
1 ccnc
n
p0
1
p0
p1.
p0
c1 k0
1 k !
k
11
c! 1 c
c
1
0
1
1 2
1
1 0.5
1
1 1
1 2
1 0.5
1
1 3
,
p1
v1.0 可编辑可修改
胡运权排队论习题解
某修理店只有一个修理工人, 来修理的顾客到达次数服从普阿松分布,平均每小时 3 人,
修理时间服从负指数分布,平均需 10 分钟, 求
(1) 修理店空闲时间概率;
(2) 店内有 4 个顾客的概率;
(3) 店内至少有一个顾客的概率;
(4) 在店内顾客平均数;
(5) 等待服务的顾客平均数;
答：（1）仓库内没有人领工具的概率为 3 ；（2）仓库内领工具的工人的平均数为 2 人；
5
3
（3）排队等待工具的工人的平均数为 4 人；（4）工人在系统中的平均花费时间为 1 小时；
15
6
（5）工人平均排队时间为 1 小时。 15
10．6 在第题中，若顾客平均到达率增加到每小时 6 人，仍为普阿松流，服务时间不变，这 时增加了一个工人。
2
32
有一个顾客的概率为 1 ；(4)店内顾客平均数为1人；(5)等待服务顾客平均数为 1 人；
2
2
(6)在店内平均逗留时间1 分钟；(7)平均等待修理时间为 1 分钟；(8)必须在店内
3
6
消耗15分钟以上的概率为e-1250 .
10.2设有一单人打字室，顾客的到达为普阿松流，平均到达时间间隔为20分钟，
解：该系统属于 M/M/1/3 模型
4
60 10 6
4 2 10 5
（1） o=1 1 2 3 55
2
(2) L 5 2 （人） 1 3 3
5
(3) Lq L 2 2 4 （人） 3 5 15
2
(4)W L 3 1 （小时） 46
(5)W Lq 4 1 1 （小时） 15 4 15
解：因为核对申请书中的每一张表格的时间服从 k 60 的负指数分布，则依次检查 8 张表
格，即一份申请书的时间服从爱尔朗分布，所以本题可以看成是一个 M/Ek/1/∞/∞模型
且 6 ，E(Ek)=1/μ=2/15,D(Ek)=1/(kμ2)=1/45, 0.8
1) 办事员空闲的概率为 P0 1 0.2
(4)Ls
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 63
1(人)；
(5)Lq
1 3 2 63
1 2
(人)；
(6)Ws
1
1 63
1 (小时)； 3
1
(7)Wq
2 63
1 6
(小时)；
(8)1-F()
e-( - )
-(6-3)15
e 60
- 15
e 20 .
379
v1.0 可编辑可修改
答：(1)修理店空闲时间概率为 1 ；(2)店内有三个顾客的概率为 1 ；(3)店内至少
2)
Lq
2 2 2 （2 1- ）
（36 / 45） 0.64 2 0.2
3.6
L Lq 3.6 0.8 4.4
Wq Lq 3.6 0.6 6
10.8 在第10.1题中，如服务时间服从正态分布，数学期望仍然为6分钟， 方差 2 1，求店内顾客数的期望值。
8
解 ＝4人 / 小时，E(T ) 1（小时），＝ 4 ，Var[T ] 1
10
10
8
Ls
2
2Var[T ] 2(1 )
4 10
4 10
2
16
1 8
＝11.
2（1 4 ） 5
381
v1.0 可编辑可修改
（2）仓库内领工具的工人的平均数； （3）排队等待领工具的工人的平均数； （4）工人在系统中的平均花费时间； （5）工人平均排队时间。
解：该系统属于 M/M/1/3 模型
4 60 10
6 4 2
10 5
（1）
p0
=
1 1 4
1 2
5
1 (2 )4
5
0.6
采用新装置各参数计算：
' 90 / h ' 3600 120
30 ' 90 0.75
120 L' 0.75 3
1 1 0.75 Lq' L 3 0.75 2.25 P0 ' 1 0.25
分析：因为采用新装置后要求原系统中等待的汽车平均数超过 5 辆为合算，经计算原系统的
（1） 根据 / 的值说明增加工人的原因；
383
v1.0 可编辑可修改
（2） 增加工人后求店内空闲概率，店内有 2 人或更多顾客（即工人繁忙）的概率。
（3） 求 Ls , Lq ,Wq ,Ws .
解 （1） 6人/小时， 6人 小时，因为 c＝1， ，意味着系统的流入量等于流
出量，系统没有空闲时间。所以要增加工人。
打字室内平均逗留时间为1小时；(4)平均到达率为0.2人 / 小时时，店主才会考
虑增加设备及打字员.
汽车按平均 90 辆/h 的 poission 流到达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间
为 38s。由于驾驶人员反映等待时间太长，主管部门打算采用新装置，使汽车通过关卡的平
均时间减少到平均 30s。但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过 5 辆和新系统
（4）服务台应从那些方面改进工作理由是什么
解 当＝6，＝10时,有
pn p5 0.04,
0.6
(1).有达到效率e (1 p5 ) 6(1 0.04) 5.76 服务台的服务强度
6
C
(1
pN
) 10
(1
0.04)
0.6 0.96 0.576
(2)系统中平均顾客数Ls
Lq
e
打字时间服从指数分布，平均时间为15分钟，求
(1)顾客来打字不必等待的概率；
(2)打字室内顾客的平均数；
(3)顾客在打字室内平均逗留时间；
(4)若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25小时，则主人将考虑增加设备
及打字员，问顾客的平均到达概率为多少时，主人才会考虑这样做？
解：该题属M / M /1模型.
中关卡空闲时间不超过 10％时才是合算的。根据这一要求，分析新装置是否合算。
380
解：该系统属于 M/M/1 模型
v1.0 可编辑可修改
旧装置各参数计算：
90 / h 3600 94.7
38 90 0.95
94.7 L 0.95 19
1 0.05 Lq L 19 0.95 18.05 P0 1 0.05
1
1
1
p0
1
1 3
1, 3
故
pn
2
1
p0
p1
1
1 3
1 3
1. 3
（3）
pc
p2
1
2
2
p0
1 1 1 23
1, 6
Lq
c
1 c 2
pc
0.5
1 0.52
1 6
0.5 0.52
1 6
1 3
Ls
Lq
1 3
1
4 3
,
Ws
Ls
4/3 6
2 小时， 9
Wq＝
Lq
＝1/ 3＝ 1 6 18
Lq
e
,
Lq
p0
(c
c1 1)!(c
p)2
[1
Nc c
(N
c)(1
c )cN c ]
0.05
(1
1.52 1.5)2
[1
1.551
(5
1)(1
1.5)
1.551