OFDM基础理论的数学表达与解析王海舟10/10/2016目录摘要 (3)第一章、概述 (4)第二章、OFDM技术基础理论 (4)2.1芝诺悖论的哲学来源与泰勒级数 (4)2.2三角级数和三角函数的正交性 (5)2.3周期函数的傅里叶级数的表达 (6)2.4欧拉公式 (8)2.5非周期连续函数的傅里叶积分变换 (10)2.6傅里叶变换的时移特性 (11)2.7单位脉冲函数及其筛选特性 (12)2.8卷积积分和卷积定理 (14)2.9奈奎斯特准则和数字滤波初步 (15)2.10OFDM技术的实现 (17)第三章、OFDM技术基础理论学习的意义 (18)摘要以OFDM技术为基础的LTE通信网络，经过近3年来的高速发展，网络的建设规模方面已经超过GSM网络。

4G的Volte语音业务替代2G的步伐也正在加快，而移动数据业务的发展更是一日千里，成为各个运营商竞争的最重要的战场。

更何况OFDM技术仍将在未来的5G网络中起着技术基石的作用。

我们知道，2G网络历经了10年以上的发展，大批现场工程师得到了充足的培训，同时又拥有长期的实战经验，因而在网络优化工作中得心应手。

相比而言，LTE网络在短时间的发展，致使我们面临短缺具备一定深度基础理论知识的网络优化工程师的情况；尽管工程师能够从多个方面能够取得一些培训，但由于缺少连贯的理论知识对接，这些培训远远不能支持专业的工程师走的更远、走的更深入。

面对这样的困境，本人对OFDM技术要点进行理论梳理，从浩瀚的高等数学、工程数学、通信理论的知识海洋中，颉取最简理论线路，创新进行理论关联和演进的串接，不仅令工程师能够夯实最基础的理论，而且用最简捷的数学理论途径，达到深入理解OFDM技术。

关键词：OFDM、泰勒级数、欧拉公式、傅里叶变换、单位脉冲函数、卷积积分、数字滤波。

第一章、概述做为一线的现场LTE 网络优化工程师，尤其是做为网络优化队伍中资历较深的工程师，有责任带领项目上其他工程师，在全面深入完成日常和专项优化工作的同时，与其他工程师就网络中的技术问题进行共同探讨和学习。

而从相互的交流沟通中，发现LTE 网络的基础理论能力问题，是限制工程师工作有效性的关键，这也直接影响到项目优化执行力度。

比如在天线权值的优化方面，在上行多用户feature 的验证等方面等等，均存在事倍功半的情况。

而在回顾和反思公司的技术培训环节，愈发感觉存在数学理论学习的缺失，也促使我本人在项目内的技术交流中，无论是OFDM 理论方面、在天线和MIMO 技术理论方面、还是在SIP 信令方面等等，均基于最基本的理论，和最朴素的逻辑关系。

而作为4G 移动通信网络的基本技术，我认为OFDM 应该是每一个工程师深入理解的技术。

通过回想自我学习的历程，并根据本人对于理论的认识，对庞大的数学理论和通信理论进行梳理，对OFDM 这一理论的知识要点进行整理，并用直白的语音和最简的数学推导，解析出OFDM 真正的含义，以期实现工程师的有最完整的理解。

第二章、OFDM 技术基础理论2.1 芝诺悖论的哲学来源与泰勒级数公元前5世纪，古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea) 曾提出了一系列关于运动的不可分性的哲学悖论，如：飞矢不动、阿喀琉斯追乌龟等。

这些哲学悖论在之后的千百年期间，引起大批哲学家和数学家的研究和争论。

无论是亚里士多德的哲学解释还是阿基米德的穷举法，都仅仅得到有限的结果；无论是后来的微积分计算、还是康托尔的集合论的连续统，也都依然不能完全得到所有人们的认同。

即便是当前已经有公认的量子理论的实验，证明了时间和空间具有最小普朗克单位，仍能引起相应的质疑。

在此，我们注意到的是：在18世纪，泰勒公式所揭示的一些连续函数可以用离散的级数和逼近的一般的表达，也就是一个函数可由该函数在某一点的n+1次导数相加求得，或无限逼近求得。

设函数()f x 在闭区间[],a b 上n 阶连续可导，且在(),a b 上n+1阶可导，任意[],∈x a b ，则泰勒公式如下：()()()()()()()()()()()221!2!!=+-+-+⋯+'-+n nn f a f a f a f x f a x a x a x a R x n .此泰勒公式，是不是能够解决芝诺悖论无关紧要，但此公式所表达的意义，对于一些具有n 阶求导的连续函()f x 数来讲，当n 趋于无穷大，余项()n R x 的极限为零时，是可以用泰勒级数来表达。

进一步，如果令函数初始点为0，则该泰勒级数可以以下麦克劳林级数的形式表达：()()()()()()()()2323000001!2!3!!=+++++'⋯+n n n f f f f f x f x x x x R x n我们可以得到这样的结论：某些特定条件下的一个连续函数可以用级数和的形式进行表达（上式中n 为正整数）。

2.2 三角级数和三角函数的正交性我们可以用麦克劳林级数对三角函数sin =y x 进行展开：()()sin =f x x ； ()01'=f ；()()200=f ； ()31(0)=-f ；()()400=f可得：()()35211sin 13!5!21!--=-+-⋯+-+⋯-n n x x x x x n同样可得： ()()242cos 112! 4.12!=-+-⋯+-+⋯nn x x xx n此两个三角函数的级数表达公式，将在后面欧拉公式的证明中用到。

三角函数，如：sin x 、cos x 、sin 2x 、cos 2x 、sin nx 、cos nx 等，在[],ππ-区间具有正交性，这一点不仅从数学的积分公式可以证明，也可以从几何图形中展示。

1、数学积分证明()()1cos cos d cos cos d 2ππππ--⎡⎤=++-⎣⎦⎰⎰kx nx x k n x k n x x （积化和差公式）=()()sin sin 12ππ-⎡⎤+-+⎢⎥+-⎣⎦k n x k n x k n k n=0 (),1,2,3,;=⋯≠k n k n2、几何示意：上图显示，在一个完整的基波周期中，与基波一样，所有谐波正弦信号在x 轴上面的面积和在x 轴下面的面积相等。

不同的若干正弦信号或若干余弦信号相乘之后的信号，依然保持此性质。

OFDM （正交频分多址）技术，就是利用了三角周期函数的正交性，从而使得若干个不同谐波的三角函数在一个整数周期叠加形成符号。

解调时，再利用积分解调出不同的三角函数。

我们可以得到这样的结论：三角函数具有正交性，只要不是一个三角函数与自身相乘，其积分结果总为零。

也就是说，具有正交性的函数之间，没有相关性，相互之间进行相乘之后，也可以从复合信号中被完整解析出来。

这也就是LTE 技术中，具有谐波性质的所有子载波可以叠加成一个符号后，并能够在接收端再被单独解调的原理。

2.3 周期函数的傅里叶级数的表达我们首先要了解周期函数：无论是三角函数还是方波，均可以在一个周期内，对幅度、频率、初相来进行坐标和数值定义。

以最简单正弦函数为例，并设A 为振幅，ω为角频率，φ为初相，t 为时间；()()sin ωϕ=+n n f t A n t=sin cos ωcos sin ωϕϕ+n n A n t A n t令：02=a A ，sin ϕ=n n n a A ，cos ϕ=n n n b A ，ω=t x ； 则，等式右端可表达为三角级数，也称为傅里叶级数：=()01cos sin 2∞=++∑n n n a a nx b nx 对等式两端逐项积分，可得出0a ，n a ，n b 与函数()f x 的关系，也就是说某一个特定连续函数()f x 有着怎样的0a 、n a 、n b ，并用对应的三角级数进行无限逼近的表达？()01d d 2ππππ∞=--=+∑⎰⎰n a f x x x cos d sin d ππππ--⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰n n a nx x b nx x 利用前面讲过的三角函数的正交性，可得：()0d 22πππ-=⎰a f x x ()01d πππ-=⎰a f x x分别用cos nx 和 sin nx 乘以等式两端，并在π-到π进行积分，利用正交性计算可得： ()1cos d πππ-=⎰n a f x nx x()1sin d πππ-=⎰n b f x nx x0a 、n a 、n b 称之为傅里叶系数。

我们可以得到这样的结论：连续周期函数可以用傅里叶级数的形式表达。

也就是说，对其连续函数的分析，等同于对连续周期函数的傅里叶级数的考察。

其中傅里叶系数与周期函数()f x 之间存在对应的积分关系。

（如下图所示）2.4 欧拉公式用三角函数表示和用三角函数计算复杂的函数时，显得极为不便和复杂。

做为三角函数与复函数之间相互表达的桥梁，利用著名的欧拉公式，可提供简捷的方法。

用复函数进行信号分析和计算，成为了最基础和最重要的途径，这一点非常重要。

我们利用前面泰勒级数的结论：234e 11!2!3!4!=+++++⋯xx x x x 令变量x 为复数z ，并已知复数()i =+z x y ，当x =0时，仅余虚部i y 则：()()()23i 111e 1i i i i 2!3!!=++++⋯++⋯ny y y y y n =23453!1111i i 2!4!5!⊥+--++-⋯y y i y y y =243511111i 2!4!3!5!⎛⎫⎛⎫-+-⋯+-+-⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y y y y y 再根据前面已经表达的三角级数，可得欧拉公式：i e cos isin =+y y y 也即：i e cos isin =+x x x另一种欧拉公式的表达方式：e cos 2-+=ix ixe xsin 2--=ix ixe e x i运用欧拉公式，我们对前面的傅里叶级数公式进行改写：令：()20021d 2-==⎰T T a c f t t Ti 2-=n n n a b c =()()2222cos d i 1sin d --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰T TT Tf t nwt t f t nwt t T=()()22cos sin d 1ωω--⎰T T f t n t i n t t T=()221e d ω--⎰T in t T f t t T()1,2,3,=⋯n()222ed 2ω--+==⎰T in tn n n Ta ibc f t t T()1,2,3,=⋯n上述三个公式合并为一个：n C =()221e d ω--⎰T in t T f t t T()0,1,2,3,=±±±⋯n则，最终的该连续周期函数()T f x 的傅里叶复指数形式如下：()01ωω∞--=⎡⎤=++⎣⎦∑n n i ti tT n n n f t C C eC e=ω+∞=-∞∑n i tnn C e或者表达式为：()22(e )1ωωττ+∞-=-∞-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑⎰n n Tj t j t T T n Td t f fe T（从本公式开始，将虚数i 更改为j ，是为了更加符合工程理论的表达习惯，后面均以j 表示）我们可以得到这样的结论：利用欧拉公式，可将连续周期函数，用复指数级数形式进行准确表达。