2021年高三数学第一轮复习单元讲座第30讲数列求和及数列实际问题教案新人教版一．课标要求：1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。
二．命题走向数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目。
有关命题趋势：1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点；2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；3．数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等； 4．有关数列的应用问题也一直备受关注。
预测xx 年高考对本将的考察为：1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合。
三．要点精讲1．数列求通项与和（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n = 。
（2）求通项常用方法①作新数列法。
作等差数列与等比数列；②累差叠加法。
最基本的形式是：a n =(a n －a n －1)+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1； ③归纳、猜想法。
（3）数列前n 项和①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)； 12+22+…+n 2=n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n 3=(1+2+…+n)2=n 2(n+1)2； ②等差数列中，S m+n =S m +S n +mnd ；③等比数列中，S m+n =S n +q n S m =S m +q mS n ； ④裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。
用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=、=－、n ·n ！=(n+1)!－n!、C n －1r －1=C n r－C n －1r、=－等。
⑤错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。
, 其中是等差数列， 是等比数列，记n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++，…⑥并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n 。
数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
⑦通项分解法：2．递归数列数列的连续若干项满足的等量关系a n+k=f(a n+k－1,a n+k－2,…,a n)称为数列的递归关系。
由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。
如由a n+1=2a n+1，及a1=1，确定的数列即为递归数列。
递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。
（2）迭代法。
（3）代换法。
包括代数代换，对数代数，三角代数。
（4）作新数列法。
最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。
四．典例解析题型1：裂项求和例1．已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。
解析：首先考虑，则=。
点评：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和11n ni i===也可用裂项求和法。
例2．求)(,32114321132112111*Nnn∈+++++++++++++++。
解析：)1(2211+=+⋯++=kkkak，])1n(n1321211[2Sn++⋯+⋅+⋅=∴1211121113121211[2+=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-+⋯+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=nnnnn点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。
题型2：错位相减法例3．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，na n，…的前n项和。
解析：①若a=0时，S n=0；②若a=1，则S n=1+2+3+…+n=；③若a≠1，a≠0时，S n-aS n=a（1+a+…+a n-1-na n），S n=]naa)1n(1[)a1(a1nn2+++--。
例4．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。
解析：，232341(23)lg (23)lg n n n n S a a a na a aS a a a naa +∴=++++=++++……①……②①-②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=- ，[]nn a na n a a a S )1(1)1(lg 2-+--=∴点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。
题型3：倒序相加例5．求S C C nC n n n n n=+++36312…。
解析：S C C C nC n n n n n n=++++0363012·…。
① 又S nC n C C C n n nnn n n =+-+++-33130110()…·。
②所以。
点评：S n 表示从第一项依次到第n 项的和，然后又将S n 表示成第n 项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到S n 的一种求和方法。
例6．设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：nn n n n n C a C a C a S +++=+ 11001 解析：因为nn n n n n C a C a C a S +++=+ 11001，00111n n n n n n n n C a C a C a S +++=--+ nn n n n n C a C a C a 0110+++=- ， 01101102()()()nn n n n n n n S a a C a a C a a C +-∴=++++++0100()()()2nn n n n n n a a C C C a a =++++=+。
点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n 都成立。
题型4：其他方法例7．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n 项和。
解析：本题实质是求一个奇数列的和。
在该数列的前n 项中共有个奇数，故S n n n n n n n =++++-=+()[(())]()1211121221422×。
例8．求数列1，3＋，32＋， (3)＋的各项的和。
解析：其和为(1＋3＋……＋3n )＋(＋……＋)==(3n ＋1－3-n)。
题型5：数列综合问题例9．（ xx 年浙江卷）已知函数＝x 3+x 2，数列 | x n | （x n > 0）的第一项x 1＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y ＝在处的切线与经过（0，0）和（x n ，f （x n ））两点的直线平行（如图）。
求证：当n 时：（I ）；（II ）。
解析：（I ）因为所以曲线在处的切线斜率 因为过和两点的直线斜率是 所以.（II ）因为函数当时单调递增， 而所以，即因此1121211().2n n n n n n x x x x x x x ----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥ 又因为令则 因为所以 因此 故点评：数列与解析几何问题结合在一块，数列的通项与线段的长度、点的坐标建立起联系。
例10．（xx 年辽宁卷）已知,其中,设02122201()()()...()...()k n n n n k n n F x C f x C f x C f x C f x =+++++,。
(I) 写出；(II) 证明:对任意的,恒有112()()2(2)1n F x F x n n --≤+--。
解析：(I)由已知推得,从而有；(II) 证法1:当时，212(1)22(2)2()12()(1)...(1)...21n n n k n k n n n n n F x x nC x n C x n k C x C x ----=++-+-++++当x>0时, ,所以在[0,1]上为增函数。
因函数为偶函数所以在[－1,0]上为减函数，所以对任意的12()()(1)(0)F x F x F F -≤-，01211210(1)(0)(1)...(1)...2(1)...(1)...2k n n n n n nn n n k nnnn nF F C nC n C n k C C nCn Cn k CC C-----=++-+-+++=+-+-++++1(1)()(1,2,31)n k n k n kn n nkk n nn k C n k C C nCC k n -----+=-+=+=-121121011111(1)(0)(...)(...)(21)212(2)1k n n n n n n n nn nn F F n C C C C C C C n n n --------=++++++=-+-=+--因此结论成立。
证法2：当时,212(1)22(2)2()12()(1)...(1)...21n n n k n k n n n n n F x x nC x n C x n k C x C x ----=++-+-++++当x>0时, ,所以在[0,1]上为增函数。
因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数所以对任意的12()()(1)(0)F x F x F F -≤-0121(1)(0)(1)...(1)...2k n n n n n n F F C nC n C n k C C --=++-+-+++又因12110(1)(0)23......k n n n n n n F F C C kC nC C ---=++++++所以121102[(1)(0)](2)[......]2k n n n n n n F F n C C C C C ---=+++++++1211012(1)(0)[......]22(22)12(2)12k n n n n n n n n n F F C C C C C n n n ---+-=+++++++=-+=+--因此结论成立。