1．两种产品x 和y 唯一需要的要素投入是劳动L 。

一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1。

假设可投入的劳动量总共为48。

（1）写出生产可能集Z 的代数表达式； （2）写出生产（隐）函数； （3）在(),x y 平面上标示生产边界。

解：（1）由题意可知，总量为48，劳动L 是两种产品唯一需要的要素投入，所以有：848x y +≤ 因此，生产可能集Z 的代数表达式为(){},,848Z x y L x y L =+≤≤。

（2）一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1，所以生产（隐）函数为8x y L +=。

（3）由（1）可得，生产可能集Z 为(){},,848Z x y L x y L =+≤≤，如图1-1所示。

2．试画出Leontief 生产函数()}{1,21221min ,f x x x x ββ=的等产量线。

解：由Leontief 生产函数()}{1,21221min ,f x x x x ββ=表达式可知，当1221x x ββ=时，2121x x ββ=，由此可得到其等产量线如图1-2所示。

3．对Cobb-Douglas 生产函数()1,212f x x Ax x αβ=()0,,0A αβ>> （1）证明11MP y x α=，22MP y x β=。

（2）求技术替代率12TRS 。

（3）当y 或21x x 变化时，12TRS 如何随之变化？ （4）画出等产量曲线。

解：（1）已知生产函数()1,212f x x Ax x αβ=，即12y Ax x αβ=，所以有：()11112121,MP f x x Ax x y x αβαα-'=== ()12212122,MP f x x Ax x y x αβββ-'===即得证。

（2）在（1）中已经证明11MP y x α=，22MP y x β=，因此，技术替代率为：11212221MP y x x TRS MP y x x ααββ=-=-=- 在Cobb-Douglas 生产函数中1αβ+=，整理得()21211x TRS x αα=--。

（3）由（2）可知，()21211x TRS x αα=--，技术替代率12TRS 与y 无关，不随y 的变化而变化；而21x x 变化时，技术替代率12TRS 随之等比例变化。

（4）已知Cobb-Douglas 生产函数()1,212f x x Ax x αβ=的技术替代率()21211x TRS x αα=--，12TRS 就是相应点处等产量曲线切线的斜率。

它的等产量线如图1-3所示。

图1-34．对CES 生产函数()11122y A x x αααδδ=+，121δδ+=，0A >（1）证明边际产出()1i i i MP A y x ααδ-=。

（2）求技术替代率12TRS 。

（3）当y 或21x x 变化时，12TRS 如何随之变化？ （4）证明技术替代弹性)11σα=-。

解：（1）()11111112211AMP y x x x ααααδδαδα--'==⨯+⨯ ()()()()()1111111211111121111A x x x A A x x x A y x αααααααααααααδδδδδδδ-----=+⎡⎤=+⎣⎦=同理可证()12122MP y A y x ααδ-'==，因此可得边际产出为[]1i i i MP A y x ααδ-=。

（2）由（1）得，[]1i i i MP A y x ααδ-=。

所以，技术替代率111212221MP x TRS MP x αδδ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。

（3）已知技术替代率111212221MP x TRS MP x αδδ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以，当y 变化时，12TRS 保持不变；当21x x 变化时，12TRS 随之等比例变动。

（4）假设21z x x =，则11122TRS z αδδ-=-，那么： ()()11212121212112d d d d 111TRS TRS TRS z TRS z z z z z αασδδαδδα----⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫⎡⎤=--- ⎪⎣⎦⎝⎭=-即得证。

7．下列生产函数的规模收益状况如何？ （1）线性函数：()1,212f x x ax bx =+，,0a b >；（2）Leontief 生产函数；（3）Cobb-Douglas 生产函数； （4）CES 生产函数。

解：（1）线性生产函数()1,212f x x ax bx =+，()()121212f tx tx atx btx t ax bx =+=+，，产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。

（2）Leontief 生产函数也是产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。

（3）Cobb-Douglas 生产函数()1,212f x x Ax x αβ=()0,,0A αβ>>，当1αβ+=时，是规模收益不变的；当1αβ+>时，规模收益是递增的；当1αβ+<时，规模收益是递减的。

（4）同理，CES 生产函数()11122y A x x ααδδ=+，产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。

1．对于Cobb-Douglas 生产函数：12y Ax x αβ=，,0αβ>，1αβ+≤，0A >。

（1）验证：仅在参数条件1αβ+≤下，利润最大化问题的二阶条件才能得到满足； （2）求要素需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量y ）； （3）求利润函数；（4）验证利润函数是()12,,p w w 的一次齐次函数； （5）验证Hotelling 引理。

解：（1）Cobb-Douglas 生产函数为12y Ax x αβ=，利润最大化的二阶条件是生产函数的Hessian 矩阵是半负定的，即：()()21212212211y yx x x D f yy x x x αααβββαβ-⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪ ⎪⎝⎭中，()2110y x αα-≤，()2210y x ββ-≤且矩阵的行列式非负，()()()22222222212121110y y D f x x x x αβαβαβαβαβ⎡⎤=---=--≥⎣⎦ 所以，1αβ+≤。

（2）利润最大化问题的一阶必要条件是：11121py w pAx x x αβαα-==，12122py w pAx x x αβββ-==所以要素需求函数为()11,py x p w w α=，()22,py x p w w β=。

将要素需求函数代入生产函数121212py py p p y Ax x A Ay w w w w αβαβαβαβαβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得产品供给函数为()111112,p p y p w Aw w αβαβαβαβαβ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（3）利润函数为：()()()()()()()1,21122,,,,,,,p w w py p w w x p w w x p w py p w py p w py p w παβ=--=--将()111112,p p y p w Aw w αβαβαβαβαβ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入，得：()()11111,212,1p p p w w pAw w αβαβαβαβαβπαβ------⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）由（3）知，利润函数为：()()11111,212,1p p p w w pA w w αβαβαβαβαβπαβ------⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()11111,2121111121,2,t 11,tp tp tp w tw tpAtw tw p p t pA w tw t p w w αβαβαβαβαβαβαβαβαβπαβαβαβπ------------⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=因此，利润函数是()12,,p w w 的一次齐次函数。

（5）利润函数()()11111,212,1p p p w w pA w w αβαβαβαβαβπαβ------⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中，p 的幂次为11111αβαβαβαβ++=------，且(),y p w p π∂=∂。

其中一部分11111111p p w w w w αααβαβααβαα------⎛⎫⎛⎫∂=- ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭从而有，1111111121p p py pA x w w w w w αβαβαβαβπααβα------⎛⎫⎛⎫∂=-=-=- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭。

同理，可验证22x w π∂=-∂。

3．厂商在短期以可变要素1和固定要素2生产一种市场价格为p 的产品，生产函数为()1/321212,f x x x x =，要素1和2的价格分别为1w 和2w 。

（1）求厂商的短期可变要素需求；（2）求厂商的短期利润函数。

解：（1）厂商的利润函数为1/323121122px x w x w x --，转化为利润最大化问题，即：()11/323121122max x px x w x w x ⎡⎤-+⎣⎦利润最大化的一阶条件为：232121103px x w --=解得321213p x x w ⎛⎫= ⎪⎝⎭，这就是厂商的短期可变要素需求。

（2）厂商的短期利润函数为：()1232121/32/322212222211123333p p p x p x x w x w x p w x w w w π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--=- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4．某厂商以一种投入同时生产两种产品，生产函数是22120y y x +-=试求该厂商的要素需求和产品供给。

解：由题意可得：[]121122,,max y y xp x p x wx --2212..0s t y y x +-=将约束方程改写为2212y y x +=，代入目标函数，可整理为一个无约束的最大值问题，其一阶必要条件为20i i p wy -=，1,2i =，解得要素供给函数为2ii p y w=，1,2i =，从而得到要素需求函数为2222121224p p x y y w +=+=。

5．一个多产品市场厂商的生产函数是(),0g y x =，对其利润最大化问题（2.32）， （1）写出角点解的一阶必要条件； （2）写出点解的二阶必要条件。

解：（1）考虑角点解可以列出下列式子：[],max x ypy wx -()..,0s t g y x = 构造拉格朗日函数：()1,ni i i L py wx g y x x λμ==--+∑一阶必要条件：在最优点(),y x **，存在λ*及0i μ*≥()1,2,...i n =，使得：(),0i i i i g y x L w x x λμ****∂∂=--+=∂∂()1,2,...i n =(),0i i ig y x L p y y λ***∂∂=-=∂∂()1,2,...i k =(),0Lg y x λ**∂=-=∂并且满足0i i x μ**=()1,2,...i n =。