绝密★启用前
2019年镇海中学高三最后一考数学试卷
姓名
准考证号
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共6页，选择题部分1至3页；非选择题部3至6页。

满分150分，考试用时120分钟。

考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：
若事件,A B 互斥，则
()()()P A B P A P B +=+若事件,A B 相互独立，则
()()()
P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()(1)(0,1,2,,)
k k
n k n n P k C p p k n -=-=
台体的体积公式
121
()3
V S S h
=其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，
h 表示台体的高
柱体的体积公式V Sh
=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式
1
3
V Sh
=其中S 表示锥体的底面积，表示h 锥体的高球的表面积公式
2
=4S R π球的体积公式
3
43V R π=其中R 表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1.已知集合3Z 02x A x x ⎧-⎫
=∈≥⎨⎬+⎩⎭
，{}N 1,B y y x x A =∈=-∈，则A B =
A.{}1,0,1,2,3-
B.{}1,0,1,2-
C.{}
0,1,2 D.{}
12x x -≤≤2.“0a ≤”是“函数()(1)f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若221m n >>，则
永临中学
A.
11m n
> B.1
m n π-> C.ln()0
m n -> D.112
2
log log n
>4.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，
则
A.//αβ且//l α
B.αβ⊥且l β
⊥C.α与β相交，且交线垂直于l
D.α与β相交，且交线平行于l
5.已知底面是正方形的四棱锥，其中一条侧棱垂直于底面，则该四棱锥的三视图可能是下列
各图中的
6.已知x ，y 满足不等式0
0224
x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数96z x y =+最大值的变化范围[]20,22，
则t 的取值范围A.[]
2,4 B.[]
4,6 C.[]
5,8 D.[]
6,77.已知a ，b 是平面内互不相等的两个非零向量，且1a = ，a b - 与b
的夹角为150 ，则b
的取值范围是
A.(
B.(]0,1
C.(]
0,2
D.(
8.设双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与
双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC
的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A.(,)-∞+∞
B.(,1)(1,)-∞-+∞
C.(
D.(1,0)(0,1)
-
9.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
()f x 是定义在R 上的减函数，()()()
g x f x f ax =-（1a >），则A.[]sgn ()sgn g x x = B.[]sgn ()sgn g x x =-C.[][]
sgn ()sgn ()g x f x = D.[][]
sgn ()sgn ()g x f x =-10.已知函数2()ln x f x x x a ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭，关于x 的方程()f x a =存在四个不同实数根，则实数a 的
取值范围是A.(0,1)(1,)
e B.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.()
0,1非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.已知复数1a i
z i
+=
-是纯虚数，则实数a =，z =.
12.已知在ABC ∆中，(2sin32,2cos32)AB = ，(cos77,cos13)BC =- ，则AB BC ⋅=
，ABC ∆的面积为
.
13.已知多项式32543212345(1)(2)x x x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a =
，
5a =
.
14.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，
将卡片上的数字作为其赌金；边随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则1()D ξ=
，12()()E E ξξ-=
.
15.已知二面角l αβ--为60 ，在其内部取点A ，在半平面α，β内分别取点B ，C .若
点A 到棱l 的距离为1，则ABC ∆的周长的最小值为.16.已知x ，0y >，且
281
1x y
+=，则x y +的最小值为.
17.在正奇数非减数列{}1,3,3,3,5,5,5,5,5, 中，每个正奇数k 出现k 次.已知存在整数b ，
c ，
d ，使对所有的N n
*∈，满足n a b d =+，其中[]x 表示不超过x 的最大整
数，则b c d ++=.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本题满分14分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，满足
22sin (sin sin )3sin 3sin C C A B A B +=+．
（Ｉ）求A ，B ，C 的大小；
（Ⅱ）若1a =，AD 是ABC ∠的角平分线，求CAD ∆的面积.
19.（本题满分15分）如图在AOB ∆中，2AOB π∠=
，6
BAO π
∠=，4AB =，D 为线段AB 的中点.若AOC ∆是AOB ∆绕直线AO 中旋转而成的.记二面角B AO C --的大小为θ.（Ｉ）当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值；
（Ⅱ）当2,23ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求二面角C OD B --的余弦值的取值范围.永临中学
20.（本题满分15分）已知正项数列}{n a ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，满足
3422
+=+n n n S a a ．
（Ｉ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）令n
n n S c 3
=
，求数列}{n c 的前n 项和n T ．
21.（本题满分15分）已知抛物线)0(2:2>=p px y E ，焦点F 到准线的距离为3，抛物线
E 上的两个动点),(11y x A 和),(22y x B ，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ．
（Ｉ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.
22.（本题满分15分）已知函数)()1ln()2()(R ∈-++=a ax x x x f .
（Ｉ）若1=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；（Ⅱ）若0)(≥x f 在),0[+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若数列}{n a 的前n 项和为132-+=n n S n ，n
n a b 4
=
，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：)2)(1ln(++<n n T n .。