a
与
b
，当它们的夹角
分别为 00 ,90 0 ,180 0时，向量
a
与
b
的位置关
如何？内积分别是多少？
向量内积的性质：
•
（1）当
a
与
b
同向时，a•
b
= | a || b | ；
当
a
=
b
时，
a•
a|ຫໍສະໝຸດ a||a||
2
a|
或
| a |
a• a
；
•
（2）当
a
与
b
反向时，a•
b
= | a || b |；
• （3）当
a
与
b
的内积（或数量积），记作
a• b
，即
a• b = | a || b | cos a,b （00 a,b 1800）
注意：
（1）特别的：a • 0 0 • a 0;
（2）两个向量 a与 b 的内积是一个数量，它可以是 正数、负数或零。
考点1：利用向量内积的定义求向量的内积
例1、已知 | a | 5,| b | 4, 600
ab
时，
a•
b
=0。
试一试：教材38页第2题
平面向量的内积运算律
• （1）
a• b b• a
•
（2）
(a• b) ( a) • b a• ( b)
•
（3）
(a b) • c a• c b• c
例3、已知
|
a
|
5,|
b |
4,
600，求
(2 a
b) •
b
解：
(2 a b) • b =2a • b b • b
7.3.1 平面向量的内积
1
复习回顾
向量的线性运算：
a
b
运算结果为向量
加法
减法
数乘
算式
AB BC AC OA OB BA
a
图式
三角形法则 平行四边形法则
三角形法则
a 与a共线
坐标式
a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 ) a ( x1, y1)
a
与
b
的夹角，
记作 a, b
b
B
b
O
A
a
a
规定， 00 1800
当
00
时，向量
a
与b
同向
当 1800时，向量
a
与
b
反向
当 900时，称向量
a
与
b
垂直，记作
ab
平面向量内积（或数量积）的定义
•
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角是
a,
b
，则把|
a
||
b
|
cos
a, b
这个乘积叫向量
cos a,b a • b ab
例2、已知
| a || b |
2
，a•
b
2 ，求
a,b
。
解： cos a,b a • b = - 2 =- 2
a b 2 2 2
又
00 a, b 1800
所以 a,b = 135
试一试：教材P41页第1（5）题，练习册P33页检测题1（1）
思考交流：
•
已知两个非零向量
=2 | a || b | cos a,b + | b | | b |
25 4 cos 60 42 36
试一试：教材38页第3题，练习册P33页检测题1（2）
课堂小结
• 1、两平面向量夹角； • 2、平面向量的内积及性质； • 3、运算方法和运算律。
谢谢观赏！
2
1
0
2
2
-1 2
2 2
-3 2
1
3 3
1
不存在
3
- 3 1
-3 0
3
练习：已知|
a
|
2,|
b
|
5
，当 a,b 分别为
00 ,30 0 ,45 0 ,60 0，90 0 ,120 0 ,135 0 ,150 0 ,180 0
时，求
a• b
。
考点2：利用向量内积的定义求两向量的夹角
a• b = | a || b | cos a,b
，求
a• b
。
解：a • b a b cos a,b 45 cos 60 10
试一试：教材38页第1题，第40页习题7.3第1题
提示：0，180特殊角的三角函数值表：
0 30 45 60 90 120 135 150 180
sin 0
cos 1
tan 0
1 2
2
3
2
2
1
3 2
2
1
2
2
0
3 2
设 a (x1, y1) b (x2 , y2 )
探 究：
•
一个物体在力
F
的作用下产生的位移
s
，
力
F
与物体位移
s
的夹角为 。
（1）F 在位移方向上的分量是
多少？所做的功W是多少？
（2）功W是一个数量还是 一个向量？
F
s
两个平面向量的夹角
•
已知非零向量
a
与
b
，作OA
a
，OB
b
，
则 AOB叫做向量