第一章绪论1.1 课题背景和意义如今，数学已成为大学生的必修课之一，而微积分则是数学学习中的重要的基础课程，贯穿整个数学学习的始终。

随着我国教育思想的根本转变，如何贯彻落实素质教育，提高学生运用数学思想在实际运用中的作用则越来越受到社会各界的关注，对于如何通过对微积分的学习来提高我们对数学文化的认识也成为教育部门积极探讨的话题。

可见，研究微积分在数学文化中的价值有着重要的现实意义。

所谓微积分，故名思义，它包括微分学和积分学。

但在数学发展的长河中，它们是相互独立地发展起来的，先有积分再有微分，最后才有微积分。

同时我们也应该看到，微积分的创立远非几个人的工作，它经历了一个漫长而曲折的过程。

早期的数学家们勇于开拓并征服了众多的科学领域，把微积分应用到天文学、力学、光学、热学等各个领域，为微积分的发展提供了广阔的空间，并在此过程中形成了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等等，大大扩展了数学研究的围。

所以，微积分的建立与发展对数学历史发展有着重要的意义。

数学的发展有其悠久的历史，尤其是微积分的发展，不但是一部文明史，而且也是一部文化发展的史书。

无论是公元600年以前的早期数学，还是公元前600年到300年之间的古希腊数学，数学都作为一门有组织的、独立的和科学的学课而存在。

但此时的数学，往往是为数不多的数学家们研究的对象，普及率很低，人们普遍使用的数学仅仅停留在简单的加减乘除阶段。

经过数百年的发展与演变，如今的数学已然已经成为一门大众化的课程，我们从小学开始就学习数学，从简单的加减乘除开始到复杂的高等数学，可以说数学贯穿了我们整个学习生涯，对他的研究已经不在是少数几个数学家的专利，而是我们普及义务教育的基础的和重要的课程。

微积分作为整个数学发展过程中的重要主线，对数学的发展起着举足轻重的作用。

17世纪后半叶，英国的牛顿和德国的莱布尼茨以其卓越的天才首先明确地认识到求积问题和作切线问题之间的互逆关系，建立了微积分基本定理，并且系统地总结出了一套强有力的算法，也正是因为这几点，使他们俩成为微积分的创立人。

微积分建立以后，分析学飞快地向前发展，18世纪达到了空前灿烂的程度，其容的丰富，使人来不及检查和巩固这一领域的理论基础，因而遭受到了种种非难。

到了19世纪初年，许多迫切的问题已基本上得到解决，数学家便开始了基础的重建与严格化。

微积分这部无穷交响乐的演奏过程，引人注目的变化则是20世纪初，数学家们将函数的积分概念作了推广，提出了包罗广泛的积分理论，既实变函数论，而现在国已有不少学者对此作出了比较深入的研究。

而今，我们在总结前人已有的研究的基础上，更加应该注重把它的思想方法运用到实际中来，解决实际问题，从而使微积分的价值得以体现。

例如：我们在解决一动态问题时，对于学过微积分并掌握得很好的同学来说，他们可以运用微积分的原理建立一个模型，用动态的方法轻松得解决。

而对那些没有学过微积分或者学的很少的人来说，他们对于这个问题则只能用静态的方法来处理，显然两者运算结果的差距会很大，用简单的静态的方法比运用微积分的原理的方法结果误差会更大些，更不精确些。

因此，学好微积分对我们解决实际问题至关重要，尤其是要很好的掌握它的思想方法，具有重要的现实意义。

1.2国外文献综述我国于2001年颁布了《义务教育阶段国家数学课程标准》，在其基本理念中明确提出：“数学是人类生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行运算、推理和证明，数学模型可以有效的描述自然现象和社会现象，数学为其他学科提供了语言、思维和方法，是一切重大技术发展的基础，数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。

”现在国外已有不少学者在这方面做出了较深入的研究，比如：渺在文献中着重阐述了微积分在数学文化方面的各种价值。

第一，微积分具有思维价值。

如果把微积分的研究单纯地看作一种技术，是谈不上对学生的思维养成的。

正如当代著名数学家苛朗曾指出的：“微积分，或数学分析，是人类思维的伟大成果之一。

”，所以我们应着重分析微积分对人的思维方式的培养。

例如在一种新产品的销售模型上，厂家和商家总是采取各种措施，他们希望对产品的销售速度与销售数量做到心中有数，以便于组织安排。

此时，如果我们运用微积分的思维方式安排一个数学模型来描绘产品推销速度，并由此分析出有用结果，以指导生产和销售。

这种运用微积分的思维价值的批判的、理性的、开放的思维方式的养成有利于学生的认识结构的优化，开阔思路，从而能使学生形成良好的创造性思维和创新意识。

第二，微积分具有美学价值。

数学美一直是指引数学家前进和奋斗不息的一盏明灯，而微积分的美，尤其具有数学美的特性。

因为微积分中概念、定理、算法是一曲曲令人神往的歌曲，是一首首令人回味无穷的诗歌，在此基础上构成的微积分，体现了数学美，同时也反映了数学本质，它们都以科学、匀称、明快的语言表达出来，体现数学的简洁美、和谐美、奇异美。

其中微积分的简洁美首先表现在符号美。

我们知道，符号可使人们摆脱一些约束，集中精力于主要环节，增加了人们的思维能力，极促进了数学的发展。

如前所述，牛顿和莱布尼兹各自独立地发展了微积分，由于两个人研究的出发点不同，两人使用的符号也不一致。

尽管如此，这些符号却被沿用至今。

可以看到，微积分符号的产生与数学发展的背景有着密切的联系，同一概念开始运用不同的符号，人们在使用过程中不断对其进行鉴别，以确定优劣性，其中蕴涵着一个审美过程。

其次表现在统一美。

如多元微积分中的三个公式：格林公式、高斯公式、斯托克司公式都是牛顿——莱布尼兹公式的推广，同时又可用高维空间的斯托克公式的推广，给人一种清新的感觉。

而统一美的另外表现形式是把微积分应用于中学数学的统一，同时提高了中学数学的品位。

对以上微积分的分析，使人们认识到，看待事物不能用简单的“二分法”，看待纷繁复杂的世界要抓住事物的本质，从多方面、多角度去考察，让人们以动态的、辨证的、全面的、系统的观点看待问题。

年仁德在文献中[15]中研究了微积分在数学文化中的价值。

第一，微积分的学习可以培养人的创新精神。

微积分是一门创新的科学，可以说创新是没有止境的，而且每一步的创新都是前人的丰富和完善。

正如H.汉克指出：“在大多数科学里，一代人推倒另一代人所修筑的东西，一个人所建立的另一个人要加以摧毁。

只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层楼。

”数学文化几千年的发展实践，已经充分证明了这一点。

第二，微积分的学习可以感受到数学文化的艺术魅力。

把文学语言与数学语言相结合，可以发现美学价值另具神韵。

敬书在文献中着重指出微积分在数学文化中的重要价值。

他认为，首先，我们学习数学尤其是学习微积分，应该把它看成是我们思维的工具。

(a)数学具有严谨的逻辑性、高度抽象性、丰富的直觉和想象性，这就决定了数学是一种思维工具。

(b)数学是人们分析问题和解决问题的思想工具，其研究方法是抽象的。

人们总是通过科学抽象，建立模型，在数学模型上展开数学推导和计算，形成对问题的认识，把握现实力量。

(c)数学赋予知识以逻辑的严密性和结论的可靠性，是使认识从感性认识上升到理性认识的阶段，并使理性认识进一步深化的重要手段。

(d)数学是辨证的辅助工具和表现方式，即用数学符号语言、公式等表示各种辨证的关系和转化，是一个运用数学进行思维的过程。

其次，数学是一种思想方法。

数学是研究量的科学，在提炼量的规律性的基础上形成各种量的推导和演算的方法，为解决问题提供数量分析和计算工具，提供推理工具和建立模型，具有一般方法论的性质和特征。

1.3 本文的研究容第一部分：认识学习微积分思想在解决实际问题中的必要性、重要性，在绪论中已有较详细的阐述。

第二部分：如何体现微积分在实际运用中的重要价值，进一步运用例子加以说明。

第二章学习微积分在实际应用中的价值2.1 学习微积分在经济领域的价值众所周知，当今数学的应用几乎遍及所有的科技领域，它不仅为自然科学、工程技术以及社会科学提供了有力的工具，而且随着现代科学技术和社会的发展，不断产生新的高科技，成为现代经济技术的关键部分。

微积分作为数学的一个重要的分支，在经济学、管理科学中也有着广泛的应用，随着计算机技术及其它高科技的普及和发展，它在经济及管理中的重要作用性日渐突出，并且越来越多的渗透到经济领域。

2.1.1微积分中的极限理论在经济中的应用学过微积分的人肯定都知道在我们刚开始学习微积分的时候就会首先学习极限的定义，即给定数列{Xn }.如果当n无限增大时，Xn无限趋近于某个确定的常数a，我们就说数列Xn当n→∞（读作n趋向无穷大）时以a为极限，记为∞→nlim X n =a 或 X n→a.这样一个基本的定义在我们的经济领域却有着广泛的应用。

例如，货币理论中的连续复利问题：设一笔贷款A(本金)年利率为r，则k年后的本利和为Ak =Ao(l+r)k气若一年分n期计息，年利率仍为r,每期利率为nr，一年后的本利和为A1=A(1+nr)n而k年后的本利和为Ak=A(1+nr)nk，让n→∞，则k年后的本利和为Ak =∞→nlim A0(1+nr)nk=Ae nk，即有连续复利公式:Ak=Ae nk。

2.1.2微积分中的导数理论在经济中的应用例如：经济学的边际成本C二定义为:增加一个单位产品引起总成本CT的变化。

边际收益定义为:附加销售一个商品引起总收益RT的变化。

总成本和总收益都是产量Q的函数。

所以，边际成本和边际收益在数学上可以表达为各自总函数的导数。

也就是:若:Cr =Cr(Q),Rr=Rr(Q),则Cm=dQdCr,Rm=dQdRr。

边际概念的实质就是经济函数的导数。

例2. 设某企业总成本函数Cr=0.001Q3-0.3Q2+20Q+500(元)，求:边际成本函数和产量Q=30件时的边际成本，并解释后者的经济意义。

解：边际成本函数：C m =dQdC r =0.003Q 2-0.6Q+20 Q=30单位时的边际成本：C m |Q=30=(0.003Q 2-0.6Q+20)|Q=30=4.7(元/件)经济意义:表示生产第30件产品时所花费的成本为4.7元。

2.1.3 微积分中的极值理论在经济中的应用例 5. 设某厂成本C 关于产量Q 的函数为:C(Q)=5Q+200(元)，收人函数为:R(Q)=325Q-Q 2(元)。

间每批生产多少件产品才能使利润L(Q)最大?要解决此类经济中的极值问题，则必须用到微积分中的极值理论。

解：L(Q)=R(Q)-C(Q)=320Q-Q 2=-200L'(Q)=320-2Q令L'(Q)=0，得Q=160(件)∴ L"( Q )=-2<0 , ∴L(160 )=25400(元)为极大值，也就是最大值。