当前位置:文档之家› 湖北省高考数学试卷(文科)

湖北省高考数学试卷(文科)

2015年湖北省高考数学试卷(文科)一、选择题:本大题10 小题,每小题3分,共30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.( 3分)( 2015?湖北) i 为虚数单位, i607=()A.﹣ i B.i C.1 D.﹣12.(3 分)(2015?湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为()A.134 石 B.169 石 C.338 石 D . 1365 石3.(3 分)( 2015 ?湖北)命题“? x0∈(0,+∞),lnx0=x0﹣1”的否定是()A.? x0∈( 0,+∞),lnx0≠x0﹣1 B. ? x0?(0,+∞),lnx0=x0﹣1C.? x∈(0,+∞),lnx≠x﹣1 D.? x?(0,+∞),lnx=x﹣14.( 3分)( 2015 ?湖北)已知变量 x 和 y 满足关系 y= ﹣ 0.1x+1,变量 y与z 正相关,下列结论中正确的是()A.x 与 y 负相关, x 与 z负相关 B.x 与 y 正相关, x 与 z正相关C.x 与 y 正相关, x 与 z 负相关D. x 与 y 负相关, x 与 z正相关5.( 3分)( 2015?湖北) l1,l2表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线, q:l1,l2 不相交,则()A.p 是 q的充分条件,但不是 q 的必要条件B. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件C.p 是 q 的充分必要条件D. p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件6.(3 分)(2015?湖北)函数 f(x)= 的定义域为()A.(2,3) B.(2,4] C.( 2, 3)∪( 3,4] D.(﹣ 1,3)∪( 3,6] 7.(3 分)(2015?湖北)设 x∈R,定义符号函数 sgnx= ,则()A.| x| =x| sgnx| B.| x|=xsgn| x| C.| x|=| x| sgnx D.| x| =xsgnx8.( 3分)( 2015?湖北)在区间 [ 0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1为事件“x+y≤ ”的概率,P2 为事件“xy≤ ”的概率,则()A.p1<p2< B.C. p2< D.9.(3 分)(2015?湖北)将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a和虚半轴长 b (a≠b)同时增加 m( m> 0)个单位长度,得到离心率为e2 的双曲线 C2,则()A.对任意的 a,b, e1> e2C.对任意的 a,b,e1< e22210.(3 分)(2015?湖北)已知集合 A={(x ,y )|x 2+y 2≤1,x ,y ∈Z },B={(x ,y )|| x| ≤2,| y| ≤2, x , y ∈ Z } ,定义集合 A ⊕B={(x 1+x 2,y 1+y 2)| (x 1,y 1)∈A ,(x 2,y 2) ∈B },则 A ⊕B 中元素的个数为( )A .77B .49C .45D . 30、填空题12.(3 分)(2015?湖北)设变量 x , y 满足约束条件 ,则 3x+y 的最大值 为.13.( 3 分)( 2015?湖北)函数 的零点个数为14.(3分)(2015?湖北)某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014年度的消费情况进行 统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间 [ 0.3,0.9] 内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的 a= .(2)在这些购物者中,消费金额在区间 [ 0.5, 0.9] 内的购物者的人数为 .15.(3分)(2015?湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD= m .16.(3分)(2015?湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T (1,0),与 y 轴正半轴交于两 点 A ,B (B 在 A 的上方),且| AB | =2.(1)圆 C 的标准方程为 .(2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为 . 11.(3 分)( 2015?湖北) 已知向量 ⊥ , | | =3,则? =217.(3 分)(2015?湖北) a 为实数,函数 f(x)=| x2﹣ax| 在区间 [0,1]上的最大值记为 g (a).当 a= 时, g( a)的值最小.三、解答题18.(12 分)( 2015?湖北)某同学将“五点法”画函数 f(x)=Asin(wx+φ)(w>0,| φ|< )在某一个时期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表:wx+φ0 π2πxAsin( wx+φ)0 5 ﹣5 0 1)请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f( x)的解析式;2)将 y=f (x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到 y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点 O 最近的对称中心.19.(12 分)( 2015 ?湖北)设等差数列 { a n}的公差为 d,前 n项和为 S n,等比数列 {b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2, q=d,S10=100.(1)求数列 {a n} , { b n}的通项公式(2)当 d>1 时,记 c n= ,求数列 {c n} 的前 n 项和 T n.20.(13 分)( 2015?湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P﹣ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD ,且 PD=CD ,点 E 是 PC 的中点,连接 DE、BD、BE.(Ⅰ)证DE ⊥平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑.若是,写出其每个角(只需写出结论);若不是,请说明理由;Ⅱ)记阳马P﹣ABCD 的体积为 V1,四面体 EBCD 的体积为 V2,求的值.x)是偶函数, f( x )+g( x ) =e x,其中 e 为自然对数的底数.1)求 f( x ), g( x )的解析式,并证明:当 x>0时, f(x)>0,g(x)>1;2)设 a≤ 0, b≥ 1,证明:当 x>0 时, ag( x ) +( 1﹣ a)< <bg(x) +(1﹣b).22.(14 分)(2015?湖北)一种画椭圆的工具如图 1所示. O是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接, MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN=ON=1 ,MN=3 ,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动, M 处的笔尖画出的椭圆记为 C,以 O为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设动直线 l 与两定直线 l1:x﹣2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 P,Q两点.若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,试探究:△ OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.R,且 f( x)是奇函数,f(x),g(x)的定义域均为2015 年湖北省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一项是符合题目要求的。

6071.(3 分)(2015?湖北) i 为虚数单位, i =( )A .﹣ iB .iC .1D .﹣1直接利用虚数单位 i 的运算性质得答案.解:i 607=i 606?i=(i 2)303?i=(﹣1)303?i= 故选: A . 点评】 本题考查了虚数单位 i 的运算性质,是基础的计算题. 2.(3 分)(2015?湖北)我国古代数学名著《九章算术》有 “米谷粒分 ”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷, 抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内 夹谷约为( )A .134 石B .169 石C .338 石D . 1365 石 【分析】 根据 254 粒内夹谷 28 粒,可得比例,即可得出结论.【解答】 解:由题意,这批米内夹谷约为 1534× ≈169 石, 故选: B .【点评】 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础.3.(3 分)( 2015 ?湖北)命题 “? x 0∈(0,+∞),lnx 0=x 0﹣1”的否定是( )A .? x 0∈( 0,+∞),lnx 0≠x 0﹣1B . ? x 0?(0,+∞),lnx 0=x 0﹣1C .? x ∈(0,+∞),lnx ≠x ﹣1D .? x?(0,+∞),lnx=x ﹣1 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.【解答】 解:命题的否定是: ? x ∈( 0,+∞),lnx ≠x ﹣ 1, 故选: C【点评】 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.4.(3 分)( 2015 ?湖北)已知变量 x 和 y 满足关系 y= ﹣ 0.1x+1,变量 y 与 z 正相关,下列结 论中正确的是( )A .x 与 y 负相关, x 与 z 负相关B .x 与 y 正相关, x 与 z 正相关C .x 与 y 正相关, x 与 z 负相关D . x 与 y 负相关, x 与 z 正相关【分析】 由题意,根据一次项系数的符号判断相关性,由 y 与 z 正相关,设 y=kz , k> 0, 得到 x 与 z 的相关性.【解答】 解:因为变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1,一次项系数为﹣ 0.1< 0,所以 x 与 y 负 相关;变量 y 与 z 正相关,设, y=kz ,(k> 0),所以 kz= ﹣0.1x +1,得到 z= ,一次项 系数小于 0,所以 z 与 x 负相关; 故选: A .、选择题:本大题 10 小题,每小题 3分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有 分析】i .【点评】 本题考查由线性回归方程, 正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应 是解题的关键.5.( 3分)( 2015?湖北) l 1,l 2表示空间中的两条直线,若 p :l 1,l 2 是异面直线, q :l 1,l 2 不相交,则( )A .p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件B . p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件C .p 是 q 的充分必要条件D . p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系,进行判断即可.【解答】 解:若 l 1,l 2是异面直线,则 l 1,l 2 不相交,即充分性成立, 若 l 1,l 2 不相交,则 l 1,l 2 可能是平行或异面直线,即必要性不成立, 故 p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件,故选: A .【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据空间直线的位置关系是解决本题的 关键.A .(2,3)B .(2,4]C .( 2, 3)∪( 3,4]D .(﹣ 1,3)∪( 3,6]【分析】 根据函数成立的条件进行求解即可.解答】 解:要使函数有意义,则即,>0 等价为 ① 即 2<x<3或 x>3,∵﹣ 4≤ x ≤4,∴解得 3<x ≤ 4 且 2<x< 3, 即函数的定义域为( 2,3)∪( 3,4], 故选: C【点评】 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.6.(3 分)(2015?湖北)函数 f (x )=的定义域为(②, ,此时 2< x< 3,即 x> 3,7.(3 分)(2015?湖北)设 x ∈R ,定义符号函数 sgnx= A .| x|=x| sgnx| B .| x|=xsgn|x| C .|x|=|x| sgnx D . | x| =xsgnx 【分析】 去掉绝对值符号,逐个比较即可.,则(解答】 解: 对于选项 A ,右边 =x| sgnx| = ,而左边 =| x| = ,显然不正确;对于选项 B , 右边 =xsgn| x| = ,而左边 =| x| = 显然不正确; 对于选项 C , 右边 =| x| sgnx= ,而左边 =| x| = 显然不正确; 对于选项 D , 右边 =xsgnx= ,而左边 =| x| = 显然正确;故选: D .【点评】 本题考查函数表达式的比较, 的积累,属于中档题. 正确去绝对值符号是解决本题的关键, 注意解题方法8.( 3分)( 2015?湖北)在区间 [0, 1] 上随机取两个数 x ,y ,记 p 1 为事件 x+y ≤ ”的概率, P 2 为事件 “xy ≤ ”的概率,则(A . p 1<p 2<B .C . 【分析】 分别求出事件 “x+y ≤ ”和事件 p 2<D .xy ≤ ”对应的区域, 然后求出面积, 利用几何概型 公式求出概率,比较大小.解答】 解:由题意,事件 “x+y ≤ ”表示的区域如图阴影三角形,所以 ;故选: B .【点评】 本题考查了几何概型的公式运用; 关键是分别求出阴影部分的面积, 公式解答.9.(3 分)( 2015 ?湖北)将离心率为 e 1的双曲线 C 1的实半轴长 a 和虚半轴长 时增加 m ( m> 0)个单位长度,得到离心率为 e 2的双曲线 C 2,则( )A .对任意的 a ,b , e 1> e 2B .当 a>b 时, e 1> e 2;当 a<b 时, e 1<e 2C .对任意的 a ,b ,e 1< e 2D .当 a>b 时, e 1<e 2;当 a<b 时, e 1>e 2【分析】 分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论.利用几何概型 b (a ≠b )同 满足事件 “xy ≤ ”的区域如图阴影部分【解答】解:由题意,双曲线 C1: c2=a2+b2, e1= ;双曲线 C2: c′2=( a+m)2+( b+m)2, e2= ,∴ = ﹣ = ,∴当 a> b 时, e1< e2;当 a< b 时, e1>e2,故选: D .【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.2210.(3 分)(2015?湖北)已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)|| x| ≤2,| y| ≤2, x, y∈ Z },定义集合 A⊕B={(x1+x2,y1+y2)| (x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则 A⊕B 中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D. 30【分析】由题意可得, A={(0,0),(0,1),(0,﹣ 1),(1,0),(﹣1,0),B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣ 1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣ 1),( 1,﹣ 2)(2,0),( 2, 1),( 2,2)( 2,﹣ 1),( 2,﹣ 2),(﹣ 1,﹣ 2),(﹣ 1,﹣ 1),(﹣1,0),(﹣ 1, 1),(﹣ 1, 2),(﹣ 2,﹣ 2),(﹣ 2,﹣ 1),(﹣2, 0),(﹣ 2,1),(﹣2,2)},根据定义可求【解答】解:解法一:22∵A= {(x,y)| x2+y2≤1,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0), B={(x,y)|| x| ≤2,|y| ≤2,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣ 2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣ 1),(1,﹣ 2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣ 1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣ 1, 0),(﹣ 1,1),(﹣ 1,2),(﹣ 2,﹣ 2),(﹣ 2,﹣ 1),(﹣2,0),(﹣ 2,1),(﹣ 2,2)}∵A⊕B={(x1+x2,y1+y2)| (x1,y1)∈A,(x2,y2)∈ B},∴A⊕B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣ 2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2),(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣ 1,﹣1),(﹣ 1,0),(﹣ 1,1),(﹣ 1,2),(﹣ 2,﹣ 2),(﹣ 2,﹣ 1),(﹣ 2,0),(﹣ 2, 1),(﹣ 2, 2),(﹣ 2,3),(﹣ 2,﹣ 3),(0,﹣ 3),( 2,﹣3),(﹣1,3),(﹣1,﹣3),(1,3),(2,3),(0,3),(3,﹣1),(3,0)(3,1),(3,2),(3,﹣ 2)(﹣ 3,2)(﹣ 3,1),(1,﹣3),(﹣ 3,﹣ 1),(﹣3, 0),(﹣ 3,﹣ 2)}共 45 个元素;解法二:因为集合 A= {(x,y)| x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合 A 中有 5 个元素,即图中圆中的整点,B={(x,y)|| x| ≤2,|y| ≤ 2,x ,y∈ Z},中有 5×5=25 个元素,即图中正方形 ABCD 中的整点, A⊕B={(x1+x2,y1+y2)| ( x 1, y1)∈ A ,( x2, y2)∈ B}的元素可看作正方形 A1B1C1D1中的整点(除去四个顶点),即 7×7﹣4=45 个.点评】 本题以新定义为载体, 主要考查了集合的基本定义及运算,、填空题11.(3 分)( 2015?湖北)已知向量 ⊥ , | | =3,则 ? = 9 【分析】 由已知结合平面向量是数量积运算求得答案. 【解答】 解:由 ⊥ ,得 ? =0,即 ?() =0, ∵| | =3, ∴.故答案为: 9.【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题.12.(3 分)(2015?湖北)设变量 x ,y 满足约束条件 ,则 3x+y 的最大值为 10 【分析】 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值.【解答】 解:作出不等式对应的平面区域如图, 由 z=3x +y ,得 y=﹣ 3x+z ,平移直线 y=﹣ 3x+z ,由图象可知当直线 y=﹣3x+z ,经过点 C 时,直线 y=﹣3x+z 的截距最 大, 此时 z 最大..即 C ( 3, 1),此时 z 的最大值为 z=3× 3+1=10, 故答案为: 10.解题中需要取得重复的点评】 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.13.(3 分)(2015?湖北)函数的零点个数为 2【分析】 将函数进行化简,由 f (x ) =0,转化为两个函数的交点个数进行求解即可. 22【解答】 解: f ( x ) =2sinxcosx ﹣ x 2=sin2x ﹣ x 2, 由 f (x )=0 得 sin2x=x 2,2 作出函数 y=sin2x 和 y=x 2的图象如图:由图象可知,两个函数的图象有 2 个不同的交点, 即函数 f ( x )的零点个数为 2 个, 故答案为: 21)直方图中的 a= 3. 2)在这些购物者中,消费金额在区间 [ 0.5, 0.9] 内的购物者的人数为【点评】 本题主要考查函数零点个数的判断, 象的交点问题是解决本题的关键.利用函数和方程之间的关系转化为两个函数图14.(3 分)(2015?湖北)某电子商务公司对 统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行[ 0.3,0.9] 内,其频率分布直方图如图6000【分析】( 1)频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率, 先算出频率, 在根据频率和为1,算出 a 的值;(2)先求出消费金额在区间 [ 0.5,0.9] 内的购物者的频率,再求频数.【解答】 解:( 1)由题意,根据直方图的性质得( 1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)× 0.1=1,解得 a=3(2)由直方图得( 3+2.0+0.8+0.2)× 0.1× 10000=6000 故答案为:( 1)3 (2)6000【点评】 本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率, 频数 = 频率×样本容量, 属于基础题.15.(3 分)(2015?湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD= 100 m .用正弦定理求得 h .【解答】 解:设此山高 h ( m ),则 BC= h ,在△ ABC 中,∠ BAC=30 °,∠ CBA=105 °,∠ BCA=45 °, AB=600 . 根据正弦定理得 = ,解得 h=100 ( m ) 故答案为: 100 .【点评】 本题主要考查了解三角形的实际应用. 关键是构造三角形, 将各个已知条件向这个 主三角形集中, 再通过正弦、 余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系, 列方程或列式 求解.16.(3分)(2015?湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T (1,0),与 y轴正BC ,进而在△ ABC 中利半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方),且 |AB|=2.(1)圆 C 的标准方程为(x﹣ 1)2+(y﹣)2=2 .(2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为﹣1﹣.【分析】(1)确定圆心与半径,即可求出圆 C 的标准方程;(2)求出圆 C 在点 B 处切线方程,令 y=0 可得圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距. 【解答】 解:( 1)由题意,圆的半径为 = ,圆心坐标为( 1, ),∴圆 C 的标准方程为( x ﹣1)2+( y ﹣ )2=2; (2)由( 1)知, B (0, 1+ ),∴圆 C 在点 B 处切线方程为( 0﹣1)( x ﹣1)+(1+ ﹣ )(y ﹣ )=2, 令 y=0 可得 x= ﹣ 1﹣ .故答案为:( x ﹣ 1)2+( y ﹣ )2=2;﹣ 1﹣ .【点评】 本题考查圆的标准方程,考查圆的切线方程,考查学生的计算能力,属于中档题.217.(3分)(2015?湖北) a 为实数,函数 f (x )=|x 2﹣ax|在区间 [0,1]上的最大值记为 g (a ).当 a= 2 ﹣2 时, g (a )的值最小.【分析】 通过分 a ≤0、0<a ≤2 ﹣2、a>2 ﹣2 三种情况去函数 f (x )表达式中绝对值 符号,利用函数的单调性即得结论.【解答】 解:对函数 f (x )=|x 2﹣ax|=|(x ﹣ )2﹣ | 分下面几种情况讨论: ① 当 a ≤0 时,f (x )=x 2﹣ax 在区间 [0,1]上单调递增, ∴f ( x ) max =g ( 1) =1 ﹣a ; ② 当 0<a ≤2 ﹣2 时, ∵ ﹣( 1﹣a ) =﹣ 2<0,∴f ( x ) max =g ( 1) =1 ﹣a ; ③ 当2 ﹣ 2<a ≤1 时, f (x )max =g (a )∴g ( a )在(﹣ ∞, ] 上单调递减,在 [ , +∞)上单调递增,∴g ( a ) min =g ( ); ④ 当 1<a<2时, g (a )=f ( )= ;⑤ 当 a ≥2 时,g (a )=f (1)=a ﹣ 1; 综上,当 a= 时, g ( a ) min =3﹣2 , 故答案为: .= , f ( 1) =1﹣ a ,综上所述, g ( a ) =点评】 本题考查求函数的最值,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于难题. 三、解答题18.(12 分)( 2015?湖北)某同学将 “五点法 ”画函数 f (x )=Asin (wx+φ)(w>0,| φ|< )1)请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数 f ( x )的解析式;2)将 y=f (x )图象上所有点向左平移 个单位长度,得到 y=g ( x )图象,求 y=g (x ) 的图象离原点 O 最近的对称中心. 【分析】(1)由五点作图法即可将数据补充完整,写出函数的解析式;(2)由函数 y=Asin ( ωx+φ)的图象变换可得 g ( x ),解得其对称中心即可得解.(2)将 y=f (x )图象上所有点向左平移 个单位长度,得到 y=g (x )=5sin[2(x+ )﹣ ] =5sin ( 2x+ ).由 2x+ =k π,k ∈Z ,可解得: x= ﹣ ,k ∈ Z , 当 k=0 时,可得:x=﹣从而可得离原点 O 最近的对称中心为: (﹣ , 0).【点评】 本题主要考查了由 y=Asin ( ωx+φ)的部分图象确定其解析式, 函数 y=Asin ( ωx+φ) 的图象变换,属于基本知识的考查.19.(12 分)( 2015 ?湖北)设等差数列 { a n }的公差为 d ,前 n 项和为 S n ,等比数列 {b n }的公 比为 q ,已知 b 1=a 1, b 2=2, q=d ,S 10=100.1)数据补充完整如下解答】 函数 f ( x )的解析式为: f ( x )=5sin (2x ﹣ ).(1)求数列 {a n} , { b n}的通项公式(2)当 d>1 时,记 c n= ,求数列 {c n} 的前 n 项和 T n.分析】(1)利用前 10 项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可; 2)当 d>1 时,由( 1)知 c n = ,写出 T n 、 T n 的表达式,数列的求和公式,计算即可.20.(13 分)( 2015?湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马 P ﹣ ABCD 中,侧棱 PD ⊥底面 ABCD ,且 PD=CD ,点 E 是 PC 的中点,连接 DE 、BD 、BE .(Ⅰ)证DE ⊥平面 PBC .试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑.若是,写出其每个角(只需写出结论) ;若不是,请说明理由;利用错位相减法及等比 解答】 解:( 1)设 a 1=a , 由题意可得 解得,或时, a n =2n ﹣ 1,b n =2 n 1;;an = ( 2n+79), b n =9?;2)当 d>1 时,由( 1)知 a n =2n ﹣1,b n =2n ﹣1, ∴c = =,∴ cn == ,∴T n =1+3? +5? +7? +9? +⋯+ n =1+3? +5? +7? +9? +⋯+ ∴ T n =1?+3? +5?+7? +⋯+ n ⋯ ∴T∴Tn =2+ ++++⋯+ ﹣∴ T n =2+ + ++ +⋯+2n ﹣1) 2n ﹣3) ?, ?,? +( 2n ﹣2n ﹣1)? =3﹣利用错位相减法是解决本题的关键, 注意解题方法Ⅱ)记阳马 P ﹣ABCD 的体积为 V 1,四面体 EBCD 的体积为 V 2,求 的值.【分析】(Ⅰ)证明 BC ⊥平面 PCD ,DE ⊥平面 PBC ,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角 三角形,即可得出结论;知,DE 是鳖臑 D ﹣BCE 的高,BC ⊥CE ,所以 V 2= = .即可求的值.【解答】(Ⅰ)证明:因为 PD ⊥底面 ABCD ,所以 PD ⊥ BC , 因为 ABCD 为正方形,所以 BC ⊥CD , 因为 PD ∩CD=D , 所以 BC ⊥平面 PCD , 因为 DE? 平面 PCD , 所以 BC ⊥ DE ,因为 PD=CD ,点 E 是 PC 的中点, 所以 DE ⊥ PC , 因为 PC ∩BC=C ,所以 DE ⊥平面 PBC ,由 BC ⊥平面 PCD ,DE ⊥平面 PBC ,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形, 即四面体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠ BCD ,∠ BCE ,∠ DEC ,∠ DEB ;(Ⅱ)由已知, PD 是阳马 P ﹣ ABCD 的高,所以 V 1== .由(Ⅰ)知, DE 是鳖臑 D ﹣BCE 的高, BC ⊥ CE , 所以 V 2== .因为 PD=CD ,点 E 是 PC 的中点,= =4Ⅱ)由已知, PD 是阳马 P ﹣ ABCD 的高,所以 V 1= = .由(Ⅰ)所以 DE=CE=CD ,所以【点评】 本题考查线面垂直的判定与性质, 考查体积的计算, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.21.( 14 分)( 2015?湖北)设函数 f (x ),g (x )的定义域均为 R ,且 f ( x )是奇函数, g(x )是偶函数, f ( x )+g ( x ) =e x ,其中 e 为自然对数的底数. (1)求 f ( x ), g ( x )的解析式,并证明:当 x>0时, f (x )>0,g (x )>1;(2)设 a ≤ 0, b ≥ 1,证明:当 x>0 时, ag ( x ) +( 1﹣ a )< <bg (x ) +(1﹣b ).【分析】(1)运用奇、偶函数的定义,由函数方程的思想可得 f ( x )、g (x )的解析式,再由指数函数的单调性和基本不等式,即可证得 f (x )>0,g (x )> 1; (2)当 x>0 时, > ag ( x ) +1﹣ a? f (x )> axg (x )+(1﹣a )x , <bg(x )+1﹣ b? f (x )< bxg ( x )+(1﹣b )x ,设函数 h ( x ) =f ( x )﹣ cxg ( x )﹣( 1﹣c )x ,通 过导数判断单调性,即可得证. 【解答】 解: 即有 f (﹣ x ) x﹣ xf (x )+g (x )=e , f (﹣ x )+g (﹣ x )=e ,﹣x即为﹣ f (x ) +g (x )=e ﹣x , 解得 f (x )= (e x ﹣ e ﹣x ),g (x )= ( e x +e ﹣x ), 则当 x>0时, e x >1,0<e ﹣x <1,f (x )>0; g (x )= ( e x +e x )> ×2 =1, 则有当 x>0时,f (x )>0,g (x )> 1;(2)证明: f ′(x )= (e x+e ﹣x)=g ( x ),x ﹣ xg ′(x )= (e ﹣e ﹣)=f (x ), 当 x>0 时,>ag (x )+1﹣a? f (x )> axg ( x ) +(1﹣a )x ,<bg (x )+1﹣b? f (x )< bxg (x )+(1﹣b )x ,设函数 h (x )=f ( x )﹣ cxg ( x )﹣( 1﹣c )x , h ′(x )=f ′(x )﹣ c (g1) f (x )是奇函数, g (x )是偶函数, =﹣ f ( x ), g (﹣ x )=g (x ),(x)+xg′( x))﹣( 1﹣c) =g( x)﹣ cg(x)﹣ cxf(x)﹣( 1﹣c)=(1﹣c)(g(x)﹣1)﹣cxf(x),① 若 c≤0 则 h′( x)> 0,故 h(x)在( 0, +∞)递增, h( x)> h(0)=0,(x> 0),即有 f(x)>cxg(x)+(1﹣c)x,故>ag(x)+1﹣a 成立;② 若 c ≥1 则 h ′( x )< 0,故 h (x )在( 0, +∞)递减, h ( x )《h ( 0) =0,( x > 0), 即有 f (x )< cxg (x )+(1﹣c )x ,故 <bg (x )+1﹣b 成立. 综上可得,当 x>0 时, a g (x )+(1﹣a )< <b g (x )+(1﹣b ).【点评】 本题考查函数的奇偶性的运用, 主要考查函数的解析式的求法和不等式的证明, 同 时考查指数函数的单调性和基本不等式的运用, 以及导数的运用: 判断单调性, 属于中档题.b 即可求椭圆 C 的方程;求出原点到直线的距离,结合三角形的面积公式进行求解即可.【解答】 解:(1)设 D (t ,0),| t| ≤2,N (x 0,y 0),M ( x , y ),由题意得 =2 , 且| | =| |=1, ∴( t ﹣x ,﹣ y )=2(x 0﹣t ,y 0),且,且 t ( t ﹣2x 0)=0,由于当点 D 不动时,点 N 也不动,∴ t 不恒等于 0, t=2x 0,故 x 0= , y 0=﹣ , 22.(14 分)( 2015?湖北)一种画椭圆的工具如图 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接, MN 上的栓子 DN=ON=1 ,MN=3 ,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 画出的椭圆记为 C ,以 O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立如图 (1)求椭圆 C 的方程; ( 2)设动直线 l 与两定直线 椭圆 C 有且只有一个公共点, 小值;若不存在,说明理由. 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON D 可沿滑槽 AB 滑动,且 N 绕 O 转动, M 处P ,Q 两点.若直线 l 总与 l 1:x ﹣2y=0 和 l 2:x+2y=0 分别交于 试探究:△ OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最代入 22 x 0 +y 0 =1 ,得方程(2)① 当直线 l 的斜率 k 不存在时,直线 l 为: x=4 或 x=﹣4,都有 S△OPQ= ,② 直线 l 的斜率 k 存在时,直线 l 为: y=kx +m,( k ),2 2 2由消去 y,可得( 1+4k2)x2+8kmx +4m2﹣16=0,∵直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,∴△ =64k 2m2﹣ 4( 1+4k2)(4m2﹣16)=0,即 m2=16k2+4,① ,由,可得 P(,),同理得 Q (,),原点 O 到直线 PQ 的距离 d= 和|PQ|= ?| x P﹣x Q| ,将① 代入② 得S△OPQ= | | =8|可得 S△OPQ= | PQ| d= | m|| x P﹣x Q| = | m|| |=| |②,当 k2> 时, S△OPQ=8()=8 1+ )>8,2当 0≤k2< 时,S△OPQ=8| | =﹣8 )=8(﹣1+ ),22∵0≤k2< 时,∴ 0< 1﹣4k2≤1,≥2,∴S△OPQ=8(﹣1+ )≥ 8,当且仅当 k=0 时取等号,∴当 k=0 时, S△OPQ的最小值为 8,综上可知当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时,三角形 OPQ 的面积存在最小值为8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.参与本试卷答题和审题的老sxs123;刘长柏; maths;changq;cst;吕静;依双曲线(排名不分先后)菁优网2016 年8 月29 日。

相关主题