A．aa>b>0，由不等式性质知：->->0，所以<>-72∵x-x=4a-(-2a)=6a=15，∴a=15622020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练【题型归纳】题型一一元二次不等式解法及其应用例1若a>b>0，c<d<0，则一定有（）b a b a b a b>B．<C．>D．<c d c d d c d c 【答案】D【解析】由c<d<0⇒-11>0，又d ca b a bd c d c例2关于x的不等式x2-2ax-8a2<0（a>0）的解集为(x,x)，且x-x=15，则a=（）1221A．515B．C．D．24152【答案】A【解析】∵由x2-2ax-8a2<0(a>0)，得(x-4a)(x+2a)<0，即-2a<x<4a，∴x=-2a,x=4a.125=．故选A．21例3不等式x2-9x-2>0的解集是___________．【答案】(-3,2)⋃(3,+∞)【解析】不等式可化为(x+3)(x-2)(x-3)>0采用穿针引线法解不等式即可．例4已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是．【答案】(-22,0)【解析】由题意可得f(x)<0对于x∈[m,m+1]上恒成立，⎩f(m+1)=2m2+3m<0，则函数y=4x-2+1的最大值.x<,∴5-4x>0，∴y=4x-2+=- 5-4x+⎪+3≤-2+3=11【解析】因为y=x(8-2x)=1.【答案】9,+∞)⎧f(m)=2m2-1<02即⎨，解得-<m<0．2题型二应用基本不等式求函数最值例1已知x<【答案】1544x-5【解析】因4x-5<0，所以首先要“调整”符号，又(4x-2)14x-5不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项.5⎛1⎫44x-5⎝5-4x⎭当且仅当5-4x=15-4x，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，y max=1.【易错点】注意x<54,则4x-5为负数，要提“-”使其变“+”.【思维点拨】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值例2当0<x<4时，则y=x(8-2x)的最大值是.【答案】8.12x+8-2x[2x(8-2x)]≤()2=8222当且仅当2x=8-2x，即x=2时取等号，所以当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8.【思维点拨】由0<x<4知，8-2x>0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可.例3函数y=x2+7x+10x+1(x>-1)的值域为。

[【解析】当x>-1,即x+1>0时,y≥2（x+1)⨯4+5=9（当且仅当x＝1时取“＝”号）.x+12+ = 1 ，则 x + y 的最小值为.= 1 ，∴ x + y = (x + y ) + ⎝ x y ⎭ ⎪ = +当且仅当 y = 时，上式等号成立，又 + = 1 ，可得 x = 4, y = 12 时， (x + y ) ．．x > 0, y > 0 ，且 + = 1 ，∴ x + y = ⎛ 1 + 9 ⎫⎪ (x + y ) ≥ 2 9 2 xy = 12是1.【思维点拨】本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离.例 4已知 x > 0, y > 0 ，且【答案】161 9x y【解析】1 9 x > 0, y > 0, +x y ⎛ 19 ⎫ y 9x x y+ 10 ≥ 6 + 10 = 169 x 1 9 x yx y min= 16 .【易错点】错解：故 (x + y )= 121 9 x y⎝ x y ⎭ xymin错因：解法中两次连用均值不等式，在x + y ≥ 2 xy 等号成立条件是 x = y ，在 1 + 9 ≥ 2 9 等号成立条件 x yxy9= 即 y = 9 x ,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成 x y立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

【思维点拨】多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错例 5 已知 a ， b 为正实数， 2b + ab + b = 30 ，则函数 y =1【答案】181 ab的最小值是 .【易错点】①本题考查不等式a +b 2≥ ab （a, b ∈ R +）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式 ab = a + 2b + 30（a, b ∈ R +）出发求得 ab 的范围，关键是寻找到 a + b 与ab 之间的关系，由此想到不等式 a + b2≥ ab （a, b ∈ R +），这样将已知条件转换为含 a b 的不等式，进而解得 ab 的范围.【思维点拨】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

题型三 线性规划例 1 已知 ⎨x + y - 4 ≥ 0 ，则： ⎪2 x - y - 5 ≤ 0 【答案】（1） 21 ；（2） 9 ；（3） ⎢ , ⎦y -- ⎪⎪=7= ，所以 z 的取值范围为 ⎢ ,4 8 ⎣ 4 2 ⎥⎦.（2）根据点线距离求即可；（3）先确定定点 Q - 1, - ⎪ 再利用斜率求.例 2 已知 ⎨ x - y + 1 ≤ 0, 则 x 2 + y 2的最小值是.⎪2 x - y - 2 ≤ 0 ( ⎧x - y + 2 ≥ 0 ⎪⎩(1) z = x + 2 y - 4 的最大值； (2) z = x 2 + y 2 - 10 y + 25 的最小值；(3) z = 2 y + 1 x + 1的取值范围是 .⎡ 3 7 ⎤2⎣ 42 ⎥.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线 x + 2 y - 4 = z 过点 C 时，z 最大.所以 x ＝7，y ＝9 时，z 取最大值 21.(2) z = x 2 + (y - 5)2 表示可行域内任一点 (x, y )到定点 M (0,5)的距离的平方，过点 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值是92.(3) z = 2 ⋅⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭ x - (- 1) 表示可行域内任一点 (x, y )与定点 Q ⎛ - 1, - 1 ⎫ 连线斜率的 2 ⎝ 2 ⎭倍.因为 k， kQB3 ⎡ 3 7 ⎤ .【易错点】作出直线图像后要熟练掌握如何找到满足条件的可行域【思维点拨】(1)把直线直线 x + 2 y - 4 = z 变形为 y = - 1 2x + z + 4 可知在 y 轴上你的截距越大 z 就越大;⎛1 ⎫ ⎝2 ⎭⎧ x ≥ 1,⎪ ⎩【答案】 5【解析】如图，只要画出满足约束条件的可行域，而 x 2 + y 2 表示可行域内一点到原点的距离的平方，由图易知 A 1,2)是满足条件的最优解，x 2 + y 2 的最小值是为 5 .4例1已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1。

求证： -1⎪-1⎪-1⎪≥8.【答案】a、b、c∈R+，a+b+c=1∴1同理12ac12ab-1⎪-1⎪≥=8，当且仅当a=b=c=-1⎪⎝a⎭⎝b⎭⎝c a b c”lg a⋅lg b,Q=1【思维点拨】本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

题型四基本不等式的应用⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎝a⎭⎝b⎭⎝c⎭1-a b+c2bc-1==≥a a a a-1≥，-1≥上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得:b bc c⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫2bc2ac2ab⎭13时取等号.【思维点拨】不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2连乘，又11-a b+c2bc-1==≥a a a a，可由此变形入手.例2若a>b>1,P=a+b(lg a+lg b),R=lg()，则P,Q,R的大小关系是.22【答案】R>Q>P【解析】∵a>b>1∴lg a>0,lg b>0，则Q=1（lg a+lg b)>lg a⋅lg b=p 2R=lg(a+b1)>lg ab=lg ab=Q∴R>Q>P.22【思维点拨】因为lg a>0,lg b>0所以可以利用均值不等式进行判断大小.【巩固训练】题型一一元二次不等式解法及其应用1.不等式x2+x-2<0的解集为___________．【答案】(-2,1)【解析】易得不等式x2+x-2<0的解集为(-2,1).2.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________．【答案】(0,8)【解析】因为不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立．∴△=(-a)2-8a<0，解得0<a<8．b + -c = 0 的两根，由韦达定理得 2m + 6 = -a, m (m + 6) = - c, 解得 c = 9 . 4.已知函数 f ( x ) = ⎧⎨ x + 1, x ≥ 0 ,则满足不等式 f (1- x 2) > f (2 x) 的 x 的范围是_____．【解析】 xy = xy 12 = xy + ⎪ = + + 32 ≥ 2 + 32 = 64= = 时，即 x = 4. y = 16 ，上式取“=”，故 (xy )min = 643.已知函数 f (x) = x 2 + ax + b (a ， ∈ R) 的值域为[0 ， ∞) ，若关于 x 的不等式 f ( x ) < c 的解集为 (m ，m + 6) ，则实数 c 的值为．【答案】 c = 9【解析】因为 f ( x ) 的值域为[0,+∞），所以 ∆ = 0, 即 a 2 = 4b ,所以 x 2 + ax +a2 a 2 4 42 ⎩1,x < 0【答案】 (-1, 2 -1)⎧⎪1 - x 2 > 2 x【解析】 ⎨ ⇒ x ∈ (-1, 2 - 1) ．⎪⎩1 - x 2 > 05.已知 f ( x ) 的定义域为 R 的偶函数，当 x ≥ 0 时，f ( x ) = x 2 - 4 x ，那么，不等式 f ( x + 2) < 5 的解集_____．【答案】(－7,3)【解析】当 x ≥0 时，令 x 2 - 4 x < 5 ，解得， 0 ≤ x < 5 ．又因为 f ( x ) 为定义域为 R 的偶函数，则不等式f ( x + 2) < 5 等价于 -5 < x + 2 < 5 ，即－7＜ x ＜3；故解集为(－7,3)．题型二 应用基本不等式求函数最值1.已知 x, y , > 0,【答案】 642 8+ = 1 ，则 xy 的最小值是 。