1、已知函数2,02()2,24x f x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。

2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3()f x 的定义域。

3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。

(1)(1)f x + (2)()(0)f ax a ≠ (3)(sin )f x (4)(sin 1)f x +4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件？1(1)()y f x =(2)y = (3)log ()(0a 1)a y f x a =>≠且 (4)arccos ()y f x =5、求下列函数的定义域。

22(1)16x y x =+- 2(2)arcsin3x y -= (3)y =+ 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。

211(1)()ln ;()2ln f x x g x x ==g 2222(2)()1;()sin cos f x g x x x ==+33(2)(3)(3)()3;()2x x f x x g x x -+=+=- 44(4)()()1f x g x x ==-7、设函数()2,()55xf xg x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x+-的表达式。

8、设2()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。

9、设2211(),()f x x f x xx +=+求。

10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。

11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。

(1)()sin f x x x =g (2)()sin f x x tgx =+ (3)()f x =(4)()ln(f x x = 2(5)()f x x x =-12、判断下列函数的奇偶性。

3(1)()f x x x =+ (2)()cos f x x x =⋅ (3)()(0)tgxf x x x=≠(4)()ln(f x x x =-13、求下列函数的周期。

(1)sin 3y x = 1(2)()24y tg x π=+14、下列函数能够复合成一个函数。

2(1)(),()sin y f u u u g x x ====(2)()(0,1),()ln u y f u a a a u g x x ==>≠==12(3)()()log (1)y f u u g x x x ====>2(4)()ln ,()y f u u u g x x ====-15、函数13ln sin y y x==，由哪些较简单的函数复合而成。

16、设()1xf x e =+，函数2(2)()1x x x φ+=+，求1(())f x φ-。

17、下列函数的极限。

2(1))(3)lim n n n →∞+ (2)n →∞12...(3)lim()22n n n n →∞+++-+ 22212(4)lim(...)n n n n n→∞+++ 18、求下列函数的极限。

4438100(1)lim 531n n n n n →∞+-++ 23310(2)lim 52n n n n n→∞-+(3)n 2(4)n19、求下列函数的极限。

20(1)lim(1)n x x →++ 1ln (2)lim n x x → 224(3)lim 2n x x →-- 211lim 1n x x →--20、求下列极限。

0(1)limsin n x x → 0sin (2)lim (sin n x x →αα,β≠0)β 0(3)lim n tgx x → 0sin (4)lim 2n xxtg →21、求下列函数的极限。

1(1)lim(1)2x n x →∞+ 2(2)lim(1)x n x →∞- 130(3)lim(12)x n x →+ 32(4)lim()1xn x x→∞++22、求下列函数的极限3113(1)lim()11n x x →--- 2214(2)lim()24n x x →---23、求下列函数的极限。

21,0(1)()1,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩设，求10lim (),lim ()x x f x f x →→ 2,2(2)()2,22,2x x f x x x x -≤⎧⎪==⎨⎪->⎩设，求20lim (),lim ()x x f x f x →→232,0(3)()21,013(1),1x x f x x x x x -<⎧⎪=+≤<⎨⎪+-≥⎩设，求012lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→→24、当0x →时，证明：1133(1)sin x x x +→x → 25、下列函数在指定点是否连续？为什么？20(1)()1,0f x x x =+=在点。

21sin ,0(2)()0x x f x x⎧≠⎪=⎨⎪⎩g，x=0，在00x =点。

,01(3)()42,1313,3x x f x x x x x ≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≤<+∞⎩，在01,3x =两点。

26、求下列函数的不连续点。

2(1)(1)x y x =+ sin (2)x y x = 21(3)1x y x -=- 111(4)1xxe y e +=- 27、证明方程310,01x x +-=在开区间（，）内有实根 第2章和第3章 一元函数微分学1、用导数定义求函数21y x =-在点x 0 处的导数。

2、求曲线3y x x =+上过点（1，2）的切线方程和法线方程。

3、求曲线ln y x =的一点（x,y ），使过该点的直线与直线y=3x 平行。

4、设函数()y f x =在点0x 处可导，导数的0'()f x ，试求下列极限。

000()()(1)limx f x f x x x →--V V 000()()(2)lim 2x f x x f x x x→+--V V V000(2)()(3)limx f x x f x x →+-V V 000()()(4)lim x f x a x f x b x x →+--V V V 5、讨论下列函数在指定点处的可到性。

(1)()1,1f x x x =-= 31,0(2)(),03,0x x f x x x x ⎧≥⎪==⎨⎪<⎩6、讨论函数1sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩g 在x=0处的连续性，可导性。

7、求下列函数的导数。

(1)ln sin a x y x a x x =-+- 1(2)1x y x +=- 1ln (3)1ln xy x -=+(4)1)y = 8、求下列函数的导数。

(1)y = 221(2)2sin y x=g(3)ln(y x = 1(4)y arctg x =2(5)y =(6)ln a bxy a bx +=- 22(2)(7)(1)x x y x +=+(8)y =9、试求下列函数的导数dydx，其中f 都可导。

(1)(sin )y f x = (2)()x y f a -= 2(3)arccos ()y f x =10、求下列函数的导数。

sin (1)xy x = 1(2)(1)xy x =+11、求下列函数的导数dy dx。

22(1)1x y xy ++=(2)yarctgx= (3)y x x y = 12、求下列函数的高阶导数()y n 。

(1)x y x e =g 1(2)ln1xy x -=+ (3)sin y x = (4)n xy x e =+ 21(5)1y x =-13、已知下列参数方程。

4(1)4x ty t⎧=⎨=⎩1()2(2)1()2a x t t b y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩14、求函数2y x =在2,0.02x x ==V ,时的增量与微分。

15、求下列函数的微分sin 2(1)3x y = 2(2)ln()y x tgx =+ 1(3)()y f arcctg x= 3(4)cos y x x =g16、利用微分，计算下列各数的近似值。

(1)sin1o 0.05(2)e (3)ln(10.01)+0(5)2tg17、求下列近似值(1)cos 61o(3) 1.02arctg18、一个正方形的棱长x=10m, 如果棱长增加，求正方形体积增量的精确值和近似值。

19、下列函数在所给区间上是否满足罗尔定理的条件？为什么？22ln ,(1)()1,x e x ef x x e⎧≤≤⎪=⎨=⎪⎩ [](2)(),1,1f x x =- []2(3)(),0,2f x x = 20、验证下列函数在所给区间上满足罗尔定理的条件，并求出罗尔定理结论中的ε。

57(1)ln cos ,,33y x ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2)y =21、验证下列函数在所给区间上满足拉格朗日中值定理，并求出定理结论的ε。

[]3(1)()2,0,2f x x = [](2)()ln ,1,f x x e =22、试对函数[]2(),()1f x x g x ==，4上写出柯西公式，并求出ε。

23、求下列函数的极限。

0(1)lim (,0)x xx a b a b x →-> 1(2)lim arctan 2x xx π→+∞- 332132(3)lim 1x x x x x x →-+--+ 03(4)lim sin x x cosx x x →-g ln (5)lim (0)a x x a x→+∞> ln(1)(6)lim x x e x →+∞+24、讨论函数在所给区间上的单调性。

1(1)(),(1,1)2x x y e e -=-- 32(2)2,(3,2)y x x =+-- (3),)y -∞+∞25、证明下列不等式(1)e 1;xx >+当x>0时， 220ln(1);2x x x x x >-<+<（）当时，26、求下列函数在所给区间上的极值。

32(1)()2618,(,)f x x x x =---∞+∞[]24(2)()2,3,4(2)f x x x =---+22(3)(),(,)x f x x e-=-∞+∞g27、求下列函数在所给区间上的最大值和最小值。

[]543(1)()551,1,2f x x x x =-++-[]1(2)(),0,41x f x x -=+ (3)()sin 2,,22f x x x ππ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦28、讨论下列函数在所给区间的凸性，并求其拐点。