2 亦用 d
表示，从而式（3－l0）
又由于 （3-12）
可见 F ( ) 相当于单位频率占有的复振幅，
具有密度的意义，所以常把 F ( ) 称为频谱密度
函数，简称频谱函数，F ( ) 为连续谱。
由式（3-12），Fn 可表示为
将其代入 f (t ) 的表达式（3－11），同时
把 n1 换为 ，求和变为积分，得
的偶函数； ( ) 称
将非周期信号的频谱表示为傅里叶积分，要求式（3－13） 的积分必须存在，这就意味着信号 f (t ) 要满足绝对可积，即 （3-16）
3.2.2
常用信号的傅里叶变换及频谱
1．门函数的频谱 幅度为1，宽度为 （常数）的单个矩形脉冲 常称为门函数，记为 。它可表示为
其波形如图3－15（a）所示
或：
f (t ) a0 (an cosn1t bn sin n1t )
n 1

（3-1）
a0
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式中 ，称为 f (t ) 的基波频率； n1 称为 n 次谐 波； a0 为 f (t ) 的直流分量； an 和 bn 为各余弦分量和正 弦分量的幅度。式（3－1）就是三角形式的傅里叶级数。 由数学分析知，各傅里叶系数为
信号的能量主要集中在
2 0,
的低频分量上，那
些次数较高的谐波分量实际上可以忽略不计。因此，
常把 这段频率范围称为矩形信号的
“有效带宽”，或称为“频带宽度”，简称为信号的
带宽，记作 ，即 （3-8） 或用频率表示 （3-9）
3．2 非周期信号的频谱
3.2.1 傅里叶变换 3.2.2 常用信号的傅里叶变换及频谱 3.2.3 傅里叶变换的性质与应用
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图3-3（b）为以上各分量的合成波形。可见，所取的谐波
分量越多越接近原来的方波。
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图3-4（a）为周期三角波的谐波分解的波形。
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图3-4（b）为周期三角波的谐波合成的波形。
例3-2 如图3-5所示周期矩形信号，试求其指 数形式的傅里叶级数。
图3-5 周期矩形信号的波形
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下面通过实际数据研究傅里叶级数是如何应用
的。图3-6（a）是实测的气温曲线。该曲线用每天
的平均气温表示，一年中共有365个数据构成。将
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书名：信号与系统 作者：谭华 ISBN： 978-7-111-29534-1 出版社：机械工业出版社 本书配有电子课件及电子教案
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第3章 连续系统的频域分析
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3.1.1傅里叶级数
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1．周期信号的三角级数表示 把非正弦周期信号分解为傅里叶级数（Fourier Series） 是法国科学家傅里叶所做的重大贡献。为了便于理解用傅里叶 级数表示周期信号的思想，不妨首先观察图3-1所示的锯齿波 的变化过程。随着不同频率的三角函数的项数不断增加，合成 结果就逐渐逼近周期锯齿波 f (t ) 。 下面讨论一般周期信号的傅里叶级数表示方法。 周期信号是定义在（-∞，∞）区间内，每隔一定周期按 相同规律重复变化的信号。它们可一般地表示为
3） 4）曲线呈现衰减振荡型，位于坐标原点附近的“主瓣”宽度
为2π。
的波形如图3-10所示。
图3-10
Sa(x)函数图形
图3-11
Sa(x)函数频谱图形
图3-12
｜Fn｜幅度谱的频谱图
图3-13
周期相同而脉宽不同情况下的频谱图

图3-14
脉冲宽度
图3-14
脉冲宽度不变而周期T不同情况下的频谱图
f (t ) f (t kT )
(k 0 , 1, 2 ,)
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当周期信号满足狄里赫利条件时，则它可用傅 里叶级数表示为：
f (t ) a 0 a1 cos1t b1 sin1t a 2 cos 21t b2 sin 21t a n cos n1t bn sin n1t
由式（3-13），可得 G (t ) 的傅里叶变换，即 频谱函数为
令
则门函数的频谱
（3-17）
3.2.2常用信号的傅里叶变换及频谱
2．冲激函数的频谱 由定义式（3－13），并应用的采样性质，得
如图3-16所示, 冲激信号的频谱是均匀谱。
3.2.1
傅里叶变换
当周期信号的周期T趋于无限大时，相邻谱 线间隔1 趋于无穷小，从而谱线密集变为连续 谱。为了便于理解，可以从傅里叶级数引出傅里 叶变换。 对于周期信号，有如下一对关系
Fn 是离散值 n1 的函数，可以写为
当T→∞时，谱线高度｜ Fn｜和谱线间隔 1 趋于 n 无穷小，故 1 可用 d 代替， 1 变为连续变量 时 变为
f (t ) 视为一个周期函数的一个周期段，则可以用 n
次谐波来逼近
f (t )
，如图3-6（b）～（g）所示。
根据分析计算，前10次谐波的傅里叶系数的幅度 和相位如下表：
前10次谐波的傅里叶系数的幅度和相位如下表：
3.1.2
周期信号的频谱
1．周期信号频谱的特点
为了直观地反映周期信号中各频率分量的分布情形， 可将它们各分量的振幅和相位用图形表示出来，这就是所 谓信号的“频谱图”。频谱图中谐波分量的振幅随频率变 化的关系称为振幅谱，谐波分量的相位随频率变化的关系 称为相位频谱。 矩形波傅里叶级数可改写为式（3-2）的形式，即
由此可画出其频谱图如图3-7所示

周期信号的振幅谱具有以下特点：
1）频谱图由频率离散的谱线组成，每根谱线代 表一个谐波分量。这样的频谱称为不连续频谱或离 散频谱。
2）频谱图中的谱线只能在基波频率 1 的整数 倍频率上出现。 3）频谱图中各谱线的高度，一般而言随谐波次 数的增高而逐渐减小。当谐波次数无限增高时、谐 波分量的振幅趋于无穷小。
n 1

（3-2）
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例3-1 如图3-2所示的周期矩形波信号， 求其傅里叶级数。
图3-2
周期矩形波信号
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图3-3（a）为矩形波（方波）的直流（此例为零）、基 波、即傅里叶变 换（Fourier Transform）
（3-13）
和傅里叶反变换
（3-14）
式（3-13）和式（3-14）称为傅里叶变换对，可简记为
或记为
频谱函数 F ( ) 一般为复函数，可写为
（3-15） 式中｜ F ( ) ｜称为幅度频谱，是 的奇函数。 为相位频谱，是
信号的振幅频谱可以通过频谱分析仪直接测试得 到。图3-8为频谱分析仪的原理及两个测试结果。
3.1.2
周期信号的频谱
2． 双边频谱与信号的带宽 前面的分析是将周期信号分解为三角傅里 叶级数后得到的单边频谱图，这是因为其谱线
只出现在频率的正半轴。如将周期信号展开成
指数傅里叶级数，由于存在负频率，其频谱图 的谱线在频率的负半轴同时存在，故称为双边 频谱。现以周期矩形脉冲为例加以说明。
图3－9所示为周期矩形脉冲信号，它的脉冲宽
度为

，高度为A，周期为T，基波角频率
，
f (t ) 的一个脉冲可表示为
复系数
（3－5）
由此可以写出的表达式为
（3－6）
观察
的表达式，它是形如
的函数，称为“取样
函数”，通常记为 的重要函数。它的特点如下： 1） 2）当
，它是在通信理论中应用很广
是偶函数，因为它是和的乘积。 处，有
3.1.1
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傅里叶级数
2．周期信号的指数级数表示
现在介绍傅里叶级数的另一种形式——指数形式。
根据欧拉公式 式（3-2）可表示为
则周期信号又可表示为
式（3-3）称为傅里叶级数的复指数形式，为复系数。可以证明，复系数 可以通过信号确定，即
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第3章
连续系统的频域分析
重点及难点 ： 1）傅里叶变换的性质。 2）连续系统的频域分析。
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第3章
连续系统的频域分析
前面讨论连续系统的时域分析时，以阶跃函数
和冲激函数作为基本信号，将任意输入信号表示为
冲激分量的连续和（积分），并利用卷积方法求取
1 a0 T

T
0
f (t )dt
T
2 an T
2 bn T


0
0
f (t ) cos(n1 )tdt
f (t ) sin(n1 )tdt
T
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若将式（3-1）中的同频率项加以合并，
式中
又可以写成三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：