高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下： 1.设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；2.填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法 新养殖法3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）P （）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82819.（12分）如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所 成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值 20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1） 求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且230()2ef x --<<.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．23.[选修45：不等式选讲]（10分）已知330,0,2a b a b >>+=，证明： （1）33()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．参考答案1．D2．C【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，3．B【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-==-a S ，解得13a =．4．B【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 5．A【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．6．D【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．由此把4份工作分成3份再全排得2343C A 36⋅=7．D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．8．B【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A【解析】取渐近线by x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线距离为2223b a b =+ 得224c a =，24e =，2e =．10．C【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，）可知1152MN AB ==，1122NP BC ==，作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，12MQ AC =ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭，7=AC则7MQ =，则MQP △中，22112MP MQ PQ =+= 则PMN △中，222cos 2MN NP PM PNM MH NP+-∠=⋅⋅又异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，，则余弦值为10．11．A 【解析】()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦， 则()()32422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．12．B【解析】几何法：如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又323PA PD AD +==⨯=， 则223324PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤， PD CBA则min 332242PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， ∴()03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()3PA x y=--，，()1PB x y =---，，()1PC x y =--，，∴()222222PA PB PC x y y ⋅+=-+则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，3y =．13．1.96【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令cos x t =且[]01t ∈， 则当3t =时，()f x 取最大值1． 15．2+1n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．则3123a a d =+=求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=16．6【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-，如图，M 为F 、N 中点，l FN M C BAOyx故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6NF NM MF =+=17.【解析】（1）依题得：21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15cos 17B =， （2）由⑴可知8sin 17B =． ∵2ABC S =△， ∴1sin 22ac B ⋅=， ∴182217ac ⋅=， ∴172ac =， ∵15cos 17B =， ∴22215217a cb ac +-=，∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=，∴2361715b --=，∴2b =．18．【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（2）由计算可得2K 的观测值为 ∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=80.0320.06817÷=，85 2.3517⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．19．【解析】（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴12EF AD ∥．又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==，∴12BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，，，(010)D ，，，(00P ，．M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，∴MBM '△为等腰直角三角形．∵POC △为直角三角形，OC =，∴60PCO ∠=︒．设MM a '=，3CM a '=，31OM a '=-．∴3100M a ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，． 222231610133BM a a a a ⎛⎫'=++=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭．∴3211OM a '=-=-． ∴21002M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，，26102M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 2611AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 1160y z +=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，(001)n =，，．∴10cos ,m n m n m n⋅<>==⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10． 20．【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝⎭，∴2M x y ⎛⎫⎪⎝⎭，，又M 在椭圆上． ∴22122x += ⎪⎝⎭，即222x y +=． (3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，⑵设点由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()21OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，∴213OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．设直线OQ ：3Q y y x =⋅-，因为直线l 与OQ l 垂直．∴3l Qk y =故直线l 方程为3()P P Qy x x y y =-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 13P Q P y y x x -⋅=-， ∴13P Q P x y y x =-⋅+，∵33P Q P y y x =+，∴1(33)13P P x x x =-++=-，若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．21．【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11ax g x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1x a=． 当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调减；当1x a>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()0g x ≥．综上，1a =．⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．令()22ln h x x x =--，则()1212x h x x x-'=-=，0x >． 令()0h x '=得12x =， 当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭．因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，()h x 即()f x '各有一个零点．设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调减，所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．因为，()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．由前面的证明可知，201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()()24220e e e e f x f ---->=+>．因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()014f x <． 因此，()201e 4f x -<<． 22．【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，，， 则0||OM OP ρρ==，．解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为()2224x y -+=．()0x ≠⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．||OA 为定值．∴当高最大时，AOB S △面积最大，如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大23．【解析】⑴由柯西不等式得：()()()2255334a b a b a b ++=+=≥1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=∴()()222a b a ab b +-+= ∴()()232a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦∴()()332a b ab a b +-+=∴()()323a b aba b +-=+由均值不等式可得：()()32232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭≤ ∴()()32232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭≤ ∴()()33324a b a b ++-≤∴()3124a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．高考复习试卷习题资料之高考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i2．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{3，5}3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0）D．（4，3）4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（）A．7 B．8 C．10 D．115．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．2x﹣B．x3sinx C．2cosx+1 D．x2+2x6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50 B．40 C．25 D．207．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件8．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的（）A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4 B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定10．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下命题：①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；④z1*z2=z2*z1则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（1113题）11．（5分）曲线y=﹣5ex+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．12．（5分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．13．（5分）等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=．（二）（1415题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=．四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）19 128 329 330 531 432 340 1合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．18．（13分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．19．（14分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn2﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．21．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（）．高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：∵满足（3﹣4i）z=25，则z===3+4i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{3，5}【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，∴M∩N={2，3}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0）D．（4，3）【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（3，1），∴﹣=（2，﹣1）故选：B．【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（）A．7 B．8 C．10 D．11【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B（4，2）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=2×4+2=10，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．5．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．2x﹣B．x3sinx C．2cosx+1 D．x2+2x【分析】根据函数的奇偶性的定，对各个选项中的函数进行判断，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=2x﹣，由于f（﹣x）=2﹣x﹣=﹣2x=﹣f（x），故此函数为奇函数．对于函数f（x）=x3sinx，由于f（﹣x）=﹣x3（﹣sinx）=x3sinx=f（x），故此函数为偶函数．对于函数f（x）=2cosx+1，由于f（﹣x）=2cos（﹣x）+1=2cosx+1=f（x），故此函数为偶函数．对于函数f（x）=x2+2x，由于f（﹣x）=（﹣x）2+2﹣x=x2+2﹣x≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f （x），故此函数为非奇非偶函数．故选：A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50 B．40 C．25 D．20【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25．故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可．【解答】解：由正弦定理可知⇒=，∵△ABC中，∠A，∠B，∠C均小于180°，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，∴a，b，sinA，sinB都是正数，∴“a≤b”⇔“sinA≤sinB”．∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件．故选：A．【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．8．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的（）A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜5，则0＜5﹣k＜5，11＜16﹣k＜16，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=16，b2=5﹣k，c2=21﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=16﹣k，b2=5，c2=21﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：D．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4 B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论．【解答】解：在正方体中，若AB所在的直线为l2，CD所在的直线为l3，AE所在的直线为l1，若GD所在的直线为l4，此时l1∥l4，若BD所在的直线为l4，此时l1⊥l4，故l1与l4的位置关系不确定，故选：D．【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．10．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下命题：①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；④z1*z2=z2*z1则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据已知中ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，结合复数的运算性质逐一判断四个结论的真假，可得答案．【解答】解：①（z1+z2）*z3=（z1+z2）=（z1+z2=（z1*z3）+（z2*z3），正确；②z1*（z2+z3）=z1（）=z1（+）=z1+z1=（z1*z2）+（z1*z3），正确；③（z1*z2）*z3=z1，z1*（z2*z3）=z1*（z2）=z1（）=z1z3，等式不成立，故错误；④z1*z2=z1，z2*z1=z2，等式不成立，故错误；综上所述，真命题的个数是2个，故选：B．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题．二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（1113题）11．（5分）曲线y=﹣5ex+3在点（0，﹣2）处的切线方程为 5x+y+2=0．．【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可．【解答】解：y′=﹣5ex，∴y′|x=0=﹣5．因此所求的切线方程为：y+2=﹣5x，即5x+y+2=0．故答案为：5x+y+2=0．【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题．12．（5分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．【分析】求得从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母、取到字母a的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，共有=10种情况，取到字母a，共有=4种情况，∴所求概率为=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．13．（5分）等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= 5 ．【分析】可先由等比数列的性质求出a3=2，再根据性质化简log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案．【解答】解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．又等比数列{an}中，a1a5=4，即a3=2．故5log2a3=5log22=5．故选为：5．【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．（二）（1415题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．【分析】直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案．【解答】解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，即y=2x2．由ρcosθ=1，得x=1．联立，解得：．∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则= 3 ．【分析】证明△CDF∽△AEF，可求．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EB=2AE，∴AB∥CD，CD=3AE，∴△CDF∽△AEF，∴==3．故答案为：3．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．【分析】（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）19 128 329 330 531 432 340 1合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．【分析】（1）根据众数和极差的定义，即可得出；（2）根据画茎叶图的步骤，画图即可；（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可．【解答】解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21；（2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为：=30．这20名工人年龄的方差为S2=[（19﹣30）2+3×（28﹣30）2+3×（29﹣30）2+5×（30﹣30）2+4×（31﹣30）2+3×（32﹣30）2+（40﹣30）2]=12.6．【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题．18．（13分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．【分析】（1）要证CF⊥平面MDF，只需证CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即证MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；（2）求出△CDE的面积S△CDE，对应三棱锥的高MD，计算它的体积VM﹣CDE．【解答】解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD；又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD；又CF⊥MF，MD、MF⊂平面MDF，MD∩MF=M，∴CF⊥平面MDF；（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又∵Rt△PCD中，DC=1，PC=2，∴∠P=30°，∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，CF=CD=；∵EF∥DC，∴=，即=，∴DE=，∴PE=，∴S△CDE=CD•DE=；MD===，∴VM﹣CDE=S△CDE•MD=××=．【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn2﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．【分析】（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S1=a1求出a1的值；（2）利用an与Sn的关系，将条件转化为an的方程，从而求出an；（3）利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可得到本题结论．【解答】解：（1）令n=1得：，即．∴（S1+3）（S1﹣2）=0．∵S1＞0，∴S1=2，即a1=2．（2）由得：．∵an＞0（n∈N*），∴Sn＞0．∴．∴当n≥2时，，又∵a1=2=2×1，∴．（3）由（2）可知=，∀n∈N*，=＜=（），当n=1时，显然有=＜；当n≥2时，＜+=﹣•＜所以，对一切正整数n，有．【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（）．【分析】对第（1）问，先求导，再通过一元二次方程的实根讨论单调性；对第（2）问，可将f（x0）=f（）转化为f（x0）﹣f（）=0，即将“函数问题”化为“方程是否有实根问题”处理．【解答】解：（1）由f（x）得f′（x）=x2+2x+a，令f′（x）=0，即x2+2x+a=0，判别式△=4﹣4a，①当△≤0即a≥1时，f′（x）≥0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数．②当△＞0即a＜1时，方程f′（x）=0的两根为，即，当x∈（﹣∞，﹣1﹣）时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数；当时，f′（x）＜0，则f（x）为减函数；当，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数．综合①、②知，a≥1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），a＜1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，和，+∞），f（x）的单调递减区间为．（2）∵=====．∴若存在∪，使得，即，则关于x的方程4x2+14x+7+12a=0在∪内必有实数解．∵a＜0，∴△=142﹣16（7+12a）=4（21﹣48a）＞0，方程4x2+14x+7+12a=0的两根为，即，∵x0＞0，∴，依题意有，且，即，且，∴49＜21﹣48a＜121，且21﹣48a≠81，得，且．∴当∪时，存在唯一的∪，使得成立；当∪∪{}时，不存在∪，使得成立．【点评】1．求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考虑对应方程中的判别式△．2．对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在．20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得．（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1•k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程．【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1．（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，∴﹣1=k1•k2==﹣1，∴x02+y02=13．把点（±3，±2）代入亦成立，∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系．。