重庆一中高2023届高一上期期末考试数学试题卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合|22x Ax ，2|230B x x x ，则A B （ ）A. (1,3)B. (1,3)C. (1,) D. (1,)2. 已知扇形的面积为24cm ，扇形圆心角的弧度数2，则扇形的周长为（ ）cm A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 3. 若,a bR ，则""a b 是"ln ln "a b 的（ ）A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件 4. 已知角α的终边过点(,1)(0)M x x，且3cos 3x α，则x （ ） A.3 B.22 C. 2 D.335. cos15cos 75（ ）A.62B. 22C. 2D. 26. 函数()cos 26sin()2f x x x π的最小值为（ ）A.112B. 5C. 1D. 7 7. 设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R 恒有(1)(1)f x f x ，已知当[0,1]x 时，1()2x f x 若3()2af ，3(0.5)b f ，6(0.7)c f 则的大小关系是（ ）A. ab c B. a c b C. bac D. c ba8. 设函数()sin cos (0)f x a x b x ωωω在区间[,]62ππ上单调，且2()()()236f f f πππ，当12x π时，()f x 取到最大值2，若将函数()f x 的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图像()g x ，则不等式()1g x 的解集为（ ） A. (2,2),62k k k Z ππππ B. (2,2),32k k k Z ππππ C. (2,2),63k k kZ ππππ D. (2,2),33k k kZ ππππ二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。

9. 设0,0a b c ，则（ ）A. acbcB.22a bc cC. c c a bD. a c b c10. 函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A.ωπ B. 2(0)2f C. 当[1,0]x 时，()f x 的值域为22[,]22D. ()f x 在79[,]44上单调递减11. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 若()f x 的定义域为R ，则40a B. 若()f x 的值域为R ，则4a 或0aC. 若2a，则()f x 的单减区间为(,1) D. 若()f x 在(2,1)上单调递减，则12a12. 已知函数2()lg(1)1( 2.7...)x xf x x x e e e ，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ对任意R θ恒成立，则实数t 的可能取值为（ ）A. 1B.2 C.3 D. 4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知函数11(00)x ya a a 且恒过定点 .14. 已知幂函数21()(5)m f x m m x 在区间(0,)上单调递减，则m .15. 已知02παβπ，1cos()43πβ，4sin()5αβ，则sin()4πα .16. 已知函数2()2ln(||)f x x a x e （e 是自然对数的底数）有唯一零点，则a .四、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分） （1）求值：3log 2lg133536log log 3(21)45； （2）已知1tan(3)2απ，求值：sin()sin()2cos()sin()παπααπα.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()2f x x x ,（1）求函数()()f x xR 的解析式；（2）求函数1()()x g x f x 在区间(0,2)上的值域.19.（本小题满分12分）已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量t （单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为18000元.（1）写出y （单位：元）关于t （单位：克）的函数关系式；（2）若把一块该种矿石切割成重量比为1:4的两种矿石，求价值损失的百分率； （3）把一块该种矿石切割成两块矿石，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大. 注：=100%原有价值-现有价值价值损失的百分率原有价值，在切割过程中的重量损耗忽略不计.已知aR ，函数(3)(34)()2ax f x .（1）当1a 时，解不等式sin()sin64f x ππ； （2）若关于x 的方程1()2()40a xf x 有且仅有一个复数根，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分12分） 已知函数()23sin()sin()2sin cos 344f x x x x x ππ（1）当[0,]xπ时，求()f x 的单增区间；（2）将函数()f x 的图像向右平移3π个单位后得到函数()g x ，若关于x 的方程|()3|g x m 在5[,]66ππ上有解，那么当m 取某一确定值时，方程所有解的和记为m S ，求m S 所有可能值及相应的m 取值范围.若函数()yT x 对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()1T x T x 成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数()sin ,()224x x f x g x π；（1）判断函数()y f x 是否为“圆满函数”，并说明理由；（2）设2()log ()h x x f x ，证明：()h x 有且只有一个零点0x ，且05(sin)46x g π.2021年重庆一中高2023届高一上期期末考试数学答案一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

四个选项中只有一项是符合题目要求的。

BADCC BBA二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. BD 10. ABD 11. BD 12. CD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. ()01，− 14. 2− 15. 15264+ 16. 2四、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （10分）解：（1）原式=1129log 3=+−； --------5分（2）由题意可得21tan =α，原式=31211211tan 1tan 1sin cos sin cos =+−=+−=+−αααααα. --------10分 18. （12分）解：（1）当0>x 时，0<−x ，则()()()x x x x x f x f 2222+−=−−=−−=，--------3分故()⎪⎩⎪⎨⎧>+−=<+=0,20,00,222x x x x x x x x f 或()⎩⎨⎧>+−≤+=0,20,222x x x x x x x f 或()⎩⎨⎧≥+−<+=0,20,222x x x x x x x f .--------5分（2）由（1）可得()xx x x g 212+−+=，()20，∈x ， 令1+=x t ，()3,1∈t ，则342−+−=t t ty 4)3(1341++−=−+−=tt tt ， --------8分 4332<+≤t t Θ，3234−≤⎪⎭⎫⎝⎛+−<−∴t t ，432430+−≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+−<∴t t ， 2314321431+=+−≥+⎪⎭⎫⎝⎛+−∴t t ， --------11分 ∴函数()()x f x x g 1+=在区间()31，上的值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞++，231. --------12分 19. （12分）解：（1）由题意可设()02>=t kt y ，当3=t 时，180009==k y ，2000=∴k ，故()020002>=t t y . -------3分（2）设这块矿石的重量为a 克，由（1）可知，按重量比为41：切割后的价值为22542000512000⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛a a ，价值损失为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛−2225420005120002000a a a ，价值损失的百分率为%100200054200051200020002222⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛−a a a a %32= ---7分（3）若把一块该种矿石按重量比为n m :切割成两块，价值损失的百分率应为()22221n m mnn m n n m m +=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+−，又()()21222222=+⎪⎭⎫⎝⎛+⋅≤+n m n m n m mn ， ---11分当且仅当n m =时取等号，即重量比为11：时，价值损失的百分率达到最大. ---12分20. （12分）解：（1）当1=a 时，()122−−=x x f ，由()2221<<x f ，可得21121222−−−−<<x ，21121−<−−<−∴x ，即041<<−x ，故不等式解集为⎪⎭⎫⎝⎛−041，. ---5分（2）由()()04221433=−+−+−a xa x a ，可得()()a xa x a 2143322+−+−=，()()01432=−−+−∴x a x a ，即()[]()0113=+−−x x a ---8分若3=a ，则1−=x ，满足题意， ---9分 若2=a ，则()()011=+−−x x ，1−=x ，满足题意， ---10分若3≠a ，方程有2个根，为1−和31−a ，则031>−a ，3>∴a ， ---11分 综上：3≥a 或2=a . ---12分 21. （12分）解：（1）()32sin cos 22sin 22sin 22cos 2232++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x x x x f =()332sin 232sin 2cos 332sin sin cos 322+⎪⎭⎫ ⎝⎛−=++−=+++−πx x x x x x---3分则由πππππk x k 223222+≤−≤+−，可得Z k k x k ∈+≤≤+−,12512ππππ，所以()x f 的单增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1250π，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，1211. ---6分 （2）由题意可得()332sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x g---7分故()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∈⎪⎭⎫⎝⎛+=−=65,6,32sin 23πππx x x g y ，图象如下：由图可知，当0=m 时，()3−x g 有三个解：6536πππ，，−，ππππ=++−=∴6536m S ； 当2=m 时，()3−x g 有两个解：12π，127π，3212712πππ=+=∴m S ；当20<<m 时，()3−x g 有四个解：1x ，2x ，3x ，4x ，πππ346764321=+=+++=∴x x x x S m . ---12分 22. （12分）解：（1）若()x x f 4sinπ=是“圆满函数”.取321=x ，存在R x ∈2，使得 ()()121=x f x f ，即14sin6sin2=⋅x ππ，整理得24sin2=x π，但是14sin2≤x π，矛盾，所以()x f y =不是“圆满函数”. ---3分 （2）易知函数()x x x h 4sinlog 2π+=的图象在()∞+，0上连续不断. ①当(]2,0∈x 时，因为x y 2log =与x y 4sin π=在(]2,0上单调递增，所以()x h 在(]2,0上单调递增.因为0322log 2132log 6sin 32log 32222<=+=+=⎪⎭⎫⎝⎛πh ，()04sin 1>=πh ，所以()0132<⎪⎭⎫ ⎝⎛h h .根据函数零点存在定理，存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,320x ，使得()00=x h ，所以()x h 在(]2,0上有且只有一个零点0x . ---6分 ②当()+∞∈,2x 时，因为x y 2log =单调递增，所以12log log 22=>=x y ，因为14sin−≥=x y π.所以()011=−>x h ，所以()x h 在()+∞,2上没有零点。