江苏省苏州市2020届第一学期高三期初调研考试数学试卷第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1，3}，B ＝{3，9}，则A U B ＝ ． 答案：{1，3，9} 考点：集合的运算解析：∵A ＝{1，3}，B ＝{3，9}， ∴A U B ＝{1，3，9} 2．如果复数23bii-+(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 等于 ． 答案：1 考点：复数 解析：263231010bi b b i i --+=-+，由实部与虚部互为相反数得：6321010b b -+=，解得b ＝1． 3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 ．次数 1 2 3 4 5 得分3330272931答案：考点：平均数与方差解析：∵3330272931305x ++++==∴2222221[(3330)(3030)(2730)(2930)(3130)]45S =-+-+-+-+-=．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ． 答案：56考点：古典概型解析：4瓶饮料中随机取2瓶共有6种取法，所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料共有5种取法，所以求得概率为56． 5．根据如图所示的伪代码，当输入的a ，b 分别为2，3时，最后输出的b 的值为 ．答案：2考点：算法语言，伪代码解析：求得a＝5，b＝2，所以最后输出的b的值为2．6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22221 x ya b-=(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为．答案：5考点：双曲线的性质解析：由渐近线方程可得2ba=，所以b2＝4a2，即c2﹣a2＝4a2，所以225ca=，e＝5（负值已舍去）．7．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC ＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1—MBC1的体积为．答案：4考点：棱锥的体积解析：根据A1C1＝4，A1B1＝AB＝3，B1C1＝BC＝5，可得∠C1A1B1＝90°，又∠C1A1A＝90°，可得C1A1⊥平面ABB1A1，所以111111234432A MBC C MBAV V==⨯⨯⨯⨯=——．8．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，若1530S=，71a=，则10S的值为．答案：﹣5考点：等差数列前n项和解析：由1530S=可得82a=，又71a=，可得6a=，51a=-，所以110105610()5()52a aS a a+==+=-．9．若()y f x=是定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞)时，sin[0, 1)()(1)[1,)x xf xf x x∈⎧=⎨-∈+∞⎩，，，则(5)6fπ--＝．答案：12考点：函数的奇偶性、周期性 解析：1(5)(5)()sin 66662f f f ππππ--=+===． 10．已知在△ABC 中，AC ＝1，BC ＝3，若O 是该三角形内的一点，满足(OA OB)(CA +⋅-u u u r u u u r u u u r CB)u u u r＝0，则CO AB ⋅u u u r u u u r＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积解析：设AB 的中点为D ，由(OA OB)(CA +⋅-u u u r u u u r u u u r CB)u u u r ＝0，得DO AB 0⋅=u u u r u u u r所以1CO AB (CD DO)AB CD AB (CA CB)(CA CB)2⋅=+⋅=⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221(CA CB )42=-=u u ur u u u r ． 11．已知sin 222cos2αα-=，则2sin sin 2αα+＝ ．答案：1或85考点：同角三角函数关系式，倍角公式 解析：∵sin 222cos2αα-= ∴2sin 222(2cos 1)αα-=- 化简得cos (sin 2cos )0ααα-= 所以cos 0α=或tan 2α= 当cos 0α=，求得2sinsin 2αα+＝1当tan 2α=，222222sin 2sin cos tan 2tan 8sin sin 2sin cos tan 15αααααααααα+++===++．12．已知点A 、B 是圆O ：224x y +=上任意两点，且满足AB ＝P 是圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝4上任意一点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围是 ．答案：[4，16] 考点：圆的方程解析：取AB 中点C ，可得OC ＝1，所以动点C 在以O 为圆心，1为半径的圆上PA PB 2PC 2PC +==u u u r u u u r u u u r u u u r，而PC max ＝5＋1＋2＝8，PC min ＝5﹣1﹣2＝2， PA PB +u u u r u u u r 的最大值为16，最小值为4，取值范围为4≤PA PB +u u u r u u u r≤16．13．设实数a ≥1，若不等式2x x a a -+≥，对任意的实数x ∈[1，3]恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是 ． 答案：[1，2]U [72，+∞) 考点：函数性质综合解析：①当1≤a ≤2时，显然符合题意 ②当a ＞2时，2x x a a -+≥，2a x a x--≥ ∴2a x a x--≥或2a x a x --≤-化简得221x a x +≤+或221x a x -≥-恒成立求得221x y x +=+在[1，3]的最小值为32，即a ≤32与a ＞2矛盾，舍求得221x y x -=-在[1，3]的最大值为72，即a ≥72符合题意综上所述，a 的取值范围为1≤a ≤2或a ≥72． 14．在△ABC 中，若tan A tan Atan B tan C+＝3，则sinA 的最大值为 ．考点：基本不等式，正余弦定理解析：222222222222tan A tan A sin A cos B sin A cos C 22tan B tan C sin Bcos A sin cos A 22a c b a b c a aac ab b c a b c a C b cbc bc+-+-+=+=++-+- ＝222223a b c a=+- 所以2223()5a b c =+ cosA ＝222222()2522555b c b c a b c bc bc c b ++-==+≥当且仅当b ＝c 时取“＝”所以A 是锐角，且cosA 的最小值为25，此时sinA有最大值为5．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，点P 是棱AC 的中点． （1）求证：AB 1∥平面PBC 1；（2）求证：平面PBC 1⊥平面AA 1C 1C ．16．（本小题满分14分） 已知函数7()sin()sin()412f x x x ππ=+++． （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）当x ∈[0，π]时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值．17．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx交椭圆C于A、B两点，在直线l：x＋y﹣3＝0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求实数k的值．18．（本小题满分16分）某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，∠BAC＝30°．小船从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．（水流速度忽略不计）（1）若v＝4，AB＝2 km，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进m（0＜m＜t）小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数()xf x e =，()lng x x =．（1）设2()()h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图像在点A(0x ，0()g x )处的切线l 与函数()y f x =的图像也相切；（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--<成立．20．（本小题满分16分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当n ≥3时，1n S +＞n b ，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，n N *∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中； （3）将数列{}n a 、11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照：当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，11n n b b +放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，451b b ，…这个新数列的前n 和为n T ，试求n T 的表达式．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ． （1）求点P(1，1)在T 作用下的点P ′的坐标；（2）求曲线C ：y ＝x 2在变换T 的作用下所得到的曲线C′的方程．B．选修4—4：坐标系与参数方程己知直线的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数），圆C的参数方程为cossinx ay aθθ=⎧⎨=⎩（a＞0，θ为参数），点P是圆C上的任意点，若点P到直线的距离的最大值为21+，求实数a的值．解：由直线的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）可得2y x=-+由圆C的参数方程为cossinx ay aθθ=⎧⎨=⎩可得圆的标准方程为222x y a+=求得圆心O到直线的距离为2，所以a＋2＝21+，求得a的值为1．C．选修4—5：不等式选讲已知x、y、z均为正数，求证：111x y zyz zx xy x y z ++≥++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有人取到白球时终止．用随机变量X 表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望E(X)．23．（本小题满分10分）设集合M ＝{﹣1，0，1}，集合A n ＝{}123(,,,,),1,2,,n i x x x x x M i n ∈=L L ，集合A n 中满足条件“1≤12n x x x +++L ≤m ”的元素个数记为n m S ．（1）求22S 和42S 的值；（2）当m ＜n 时，求证：11322n n m n m S ++<+-．。