带有时滞的动力系统的运动稳定性分五部分内容，第一部分是Понтрягин定理，给出解实部、虚部的形式；第二部分分析了线性系统的一般性质、特征方程重根时解的表示和解的指数估计；第三部分讨论解的存在唯一性；第四部分探讨解的表达式；第五部分给出Фрид定理。

以此说明特征方程根的实部的符号可以用以判断带有时滞的线性系统的稳定性。

直接法的基本定理一、Понтрягин定理要讨论的常系数线性系统的滞量τ为常数，所指的滞后型与中立型系统分别为1()()ni ij j ij j j x a x t b x t τ=⎡⎤=+-⎣⎦∑，1()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=⎡⎤=+-+-⎣⎦∑，1,2,,i n =0τ>， 这时，相应的特征方程分别是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=， 0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=。

对0τ=的情形0ij ij ij a b e λτδλ-+-=为一代数方程110n n n P P λλ-+++=。

在常微分方程解的稳定性理论中，关于特征方程()0P λ=的根的实部符号这样一个问题是极其重要的。

如果给了方程组的平衡态之位置及其对应的特征多项式()P λ，则欲是平衡态的位置稳定，其充要条件是特征多项式()P λ的所有根都有负实部。

但是，现在的特征方程0ij ij ij a b e λτδλ-+-=，0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=已不再是代数方程，可系统的稳定性仍然与特征根的分布紧紧联系在一起，这两个特征方程的一切根i λ都有0i Re λδ≤<时，系统1()()ni ij j ij j j x a x t b x t τ=⎡⎤=+-⎣⎦∑，1()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=⎡⎤=+-+-⎣⎦∑，1,2,,i n =0τ>的零解是渐进稳定的。

不论是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=还是0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=，都把它们放在复平面上来考虑零点分布。

记λ为z ，一般地，考虑方程()(,)z H z h z e =的全部零点的分布状况，特别是零点全在左半平面的判断准则。

下面记r 为(,)h z t 关于z 的次数（这里z t e =），s 为(,)h z t 关于t 的次数，称形如r s az t 的项为主项（a 为常数）。

Понтрягин解决了两个问题：（i ）如果多项式(,)h z t 没有主项，则函数()H z 必有无限个零点，且这些零点可取任意大的正实部。

（系统不稳定）（ii ）如果多项式(,)h z t 有主项，为了解决前面提出的问题，必须研究函数()H z 在虚轴上的性态，也就是在z iy =时的性态，这里y 是实变元。

显然函数()H yi 此时可分解成实部和虚部，即()()()H yi F y iG y =+，其中：()(,cos ,sin )F y f y y y =，()(,cos ,sin )G y g y y y =，且(,,)f y u v 与(,,)g y u v 是多项式。

要使函数()H z 所有根都是负实部，充要条件是使函数()F y 和()G y 的根都是实的，而且在这当中至少对某一个y 值有不等式()()()()0G y F y F y G y ''->。

关于判定形如()F y 的函数，它的全部根都是实的这样一个问题，可以按照下列两个原则去解决：（1）要使函数()F y 的所有根都是实的，充要条件是从充分大的k 开始，函数()F y 在区间22k y k ππ-≤≤上有4sk r +个根，这里所有的根都是实的。

（2）从充分大的开始，保证没有复根而只有实根。

定义1：设(,)h z t 是两个变量z 和t 的具有实的或复的常系数的多项式,(,)m n mn m nh z t a z t =∑，当0rs a ≠且指数r 与s 同时取它们的极大值时，称项r s rs a z t 为上述多项式的主项。

即若在上述多项式中取出任何另外的一项m n mn a z t ，0mn a ≠则有（i ）r m >，s n >；（ii ）r m =，s n >；（iii ）r m >，s n =中之一。

（i ）、（ii ）、（iii ）都是在保证r 与s 最大，且出现在同一项中。

显然，不是所有的多项式都有主项。

1、缺主项时(,)z h z e （也就是(,)h z t ）的零点分布定理1 在,(,)m n mn m nh z t a z t =∑缺少主项的情况下，函数(,)z h z e 必定有无穷多个具有任意大正实部的零点集合。

2、函数(,cos ,sin )f z z z 的零点设(,,)f z u v 为z ，u ，v 的时常系数多项式，则(,cos ,sin )()f z z z F z =。

它是变量z 的整超越函数（将变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数称为整超越函数），并且在变量z 取实数值时，()F z 就取实值。

研究()F z 只有实根的充要条件，(,,)f z u v 的展式为(),(,,,)(,)m n m m nf z u v z u v ϕ=∑，其中()(,)n m u v ϕ是u ，v 的n 次齐次式。

后面将设cos u z =，sin v z =，由于1u ≤，1v ≤及221u v +=，故可假定()(,)n m u v ϕ不能被22u v +除尽。

若()(,)n m u v ϕ能被22u v +除尽，则220u v +=1,u v i ⇒==±。

所以可以把对(),(,,,)(,)m n m m nf z u v z u v ϕ=∑中的()(,)n m u v ϕ所做的假设改写成()(1,)0n m i ϕ±≠，这是对(),(,,,)(,)m n m m nf z u v z u v ϕ=∑中的所有这种项而言的。

记(),(,,,)(,)m n m m nf z u v z u v ϕ=∑中的首相为()(,)r s r z u v ϕ，此时r 与s 均为最大。

定理2 如果多项式(),(,,,)(,)m n m m nf z u v z u v ϕ=∑没有主项，则函数()F z 必有无限多个非实的根。

对(),(,,,)(,)m n m m nf z u v z u v ϕ=∑存在首项的情形，将首项取出，则有()()*(,,)(,)(,)r s m n m m r n sf z u v z u v z u v ϕϕ<≤=+∑其中()*(,)s u v ϕ中不仅含有u ，v 的齐次式的最高次项，而且也可能含有u ，v 的齐次式的较低次项，因此()*(,)s u v ϕ已不是u ，v 的s 次齐次多项式，可以写成()()*(,)(,)s n r n su v u v ϕϕ≤=∑。

此时函数()()**()(cos ,sin )s s z z z ϕΦ=显然有周期2π。

下面来证明在2()a x a z x iy π≤≤+=+中函数()*()s z Φ只有有限个根，也就是有2s 个根。

这样的话就可知必存在无限点集{}()a a ε=，使得对任何y 都有()*()0s iy εΦ+≠，在较多的情况下ε可取成零。

定理3 设(,,)f z u v 的首项为()(,)r s r z u v ϕ，又设ε使()*()0s iy εΦ+≠对所有实的y 都成立，则在带形域22k x k πεπε-+≤≤+中（这里z x iy =+），()F z 由某个大的k 起将有4sk r +个根。

因此，为了要使()F z 只有实根，充要条件是由某个大的k 起在22k x k πεπε-+≤≤+（z x iy =+）中函数()*()s z Φ有2s 个根。

定理2与定理3给出了函数(,cos ,sin )f z z z 只有实根的充要条件，当(,,)f z u v 无主项时，知(,cos ,sin )f z z z 有无限多个非实的根。

当有主项时，函数(,,)f z u v 是否有无限多个非实的根？定理4 ()()*(,,)(,)(,)r s m n mm r n s f z u v z u v z u v ϕϕ<≤=+∑有主项()()*(,)(,)s n r n su v u v ϕϕ≤=∑。

（1）如果()()**()(cos ,sin )s s z z z ϕΦ=有非实的根，则函数()(,cos ,sin )F z f z z z =有无限多个非实的根。

（2）如果()*()s z Φ只有实根，而且是单根，则函数()F z 有有限个非实的根。

3、(,)z h z e 有主项时的零点分布,(,)m n mn m n h z t a z t =∑，又r s rs a z t 为,(,)m n mn m nh z t a z t =∑的首项。

将,(,)m n mn m n h z t a z t =∑中的r z 的系数取出，得()*,(,)()r s m n mn m r n s h z t z x t a z t <≤=+∑。

函数()*()s z x e 显然是z 的以2i π为周期的函数。

又在2b y b π≤<+中又不多于s 个根，因此存在实数0ε>，使得对任何x 有()*()0s x i x e ε+≠。

定理5 有上述条件，以k N 记(,)z h z e 在22(0,)k y k x z x iy πεπε-+≤≤+>=+中根的个数。

设(,)z h z e 在虚轴上无根，即(,)0iy h iy e ≠。

当y 由2k πε-+变到2k πε+时，向量(,)iy W h iy e =所转的角度记做k V ，则12(2)2k k k V s k N r πδ=-++，其中当k →∞时0k δ→。

定理5表明研究()(,)z H z h z e =在虚轴上的情形是很重要的，()H z 在虚轴上可表示成()()()(,cos ,sin )(,cos ,sin )H iy F y iG y f y y y ig y y y =+=+，(,,)f y u v ，(,,)g y u v 为多项式。

考虑(,)h z t 与f ，g 之间的关系，令()()(,)(,)()n n n u v i u v u iv αβ+=+，这里()(,)n u v α与()(,)n u v β是实系数多项式，则有 ()1(,)()()2n n n u v u iv u iv α⎡⎤=++-⎣⎦，()1(,)()()2n n n u v u iv u iv iβ⎡⎤=+--⎣⎦。