一、选择题1. （2019浙江湖州，9，3）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形．P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）A ．22B ．5C ．352 D ．10【答案】D ．【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心O ，作直线OP ，得线段AB ，则沿折痕AB 裁剪，即可将该图形面积两等分．过点A 作AC ⊥BD 于点C ，则∠ACB ＝90°．由中心对称的性质可知，BD ＝EF ＝AG ，从而BC ＝1．又AC ＝3，故在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝2231 ＝10．故选D ．【知识点】中心对称的性质；勾股定理；操作类问题2. (2019浙江宁波,12题,4分)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和第12题图 【答案】C【思路分析】由勾股定理可知,两个小正方形面积和等于大正方形面积,表示出阴影部分面积,即可得到结论.【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S 阴影＝c2－a2－b2+b(a+b －c),由勾股定理可知,c2＝a2－b2,∴S 阴影＝c2－a2－b2+S 重叠＝S 重叠,即S 阴影＝S 重叠,故选C.F EB A O P第9题答图第9题图P第12题答图【知识点】勾股定理,阴影面积3. （2019重庆市B卷，12，4）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，AE=1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE 于点G.则四边形DFEG的周长为( )A.8B. 42C. 224D. 32212题图F CB D EG【答案】D【思路分析】由题意得△ABC是等腰直角三角形，BE⊥AC，可得∠DBH=∠DAC，因为DG⊥DE，AD⊥BC可得∠BDG=∠ADE，可得△BGD≌AED（ASA），BG=AE=1，DG=DE，∠GED=45°.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=22GE=221，在Rt△DGE中，由勾股定理可得DE=DG=2-22，因为D、F关于AE对称，所以∠FEC=∠DEC=45°，EF=DE=2-22，可求四边形DFEG的周长为2（221+2-22）=32+2.【解析】∵∠ABC=45°，AD⊥BC ∴△ABC是等腰直角三角形∴AD=BD∵BE⊥AC，AD⊥BD∴∠DAC=∠DBH∴△DBH≌△DAC （ASA）∵DG⊥DE，∴∠BDG=∠ADE∴△DBG≌△DAE（ASA）∴BG=AE，DG=DE∴△DGE是等腰直角三角形∴∠DEC=45°在Rt△ABE中，BE=223122∴GE=221∴DE=222∵D、F关于AE对称∴∠FEC=∠DEC=45°∴EF=DE=DG=222DF=GE=221∴四边形DFEG的周长为2（221+2-22）=32+2.故选D．【知识点】等腰直角三角形的判定、三角形全等的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质二、填空题1. (2019山东枣庄,17,4分)把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB＝2,则CD＝________.第17题图【答案】6－2【解析】在等腰直角△ABC中,∵AB＝2,∴BC＝22,过点A作AM⊥BD于点M,则AM＝MC＝12BC＝2,在Rt△AMD中,AD＝BC＝22,AM＝2,∴MD＝6,∴CD＝MD－MC＝6－2第17题答图【知识点】勾股定理2. (2019四川巴中,15,4分)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP＝6,BP＝8,CP＝10,则S△ABP+S△BPC＝________.第15题图【答案】163+24【思路分析】旋转△ABP,使AB与CB重合,连接PP',可判定等边三角形和直角三角形,分别算出两个三角形的面积,则题中要求面积可得.【解题过程】将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP＝BP',∠PBP'＝60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP为8,所以S△BPP'＝163,因为PP'＝8,P'C＝PA＝6,PC＝10,所以PP'2+P'C2＝PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C＝24,所以S△ABP+S△BPC＝S△BPP'+S△PP'C＝163+24..第15题答图【知识点】图形的旋转,等边三角形,勾股定理的逆定理,三角形的面积3. （2019贵州黔东南，20，3分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是．【答案】15﹣5【解析】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5 ，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．故答案是：15﹣5．【知识点】含30度角的直角三角形；勾股定理4. （2019贵州黔东南，16，3分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为．【答案】3【解析】解：由勾股定理得，BC，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3，故答案为：3．【知识点】勾股定理5. （2019湖北鄂州，15，3分）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．【答案】【解析】解：∵AO＝OB＝2，∴当BP＝2时，∠APB＝90°，当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，∴BP2，当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴BP＝OB•tan∠1＝2，故答案为：2或2或2．【知识点】勾股定理6.（2019江苏南京，12，2分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm．【答案】5【解析】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm ）． 故答案为5．【知识点】勾股定理的应用7. （2019四川成都，12，3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD ＝∠CAE ，若BD ＝9，则CE 的长为 ．【答案】9【解析】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ， 在△BAD 和△CAE 中，，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD ＝CE ＝9， 故答案为：9．【知识点】等腰三角形的性质8. （2019四川宜宾，12，3分）如图，已知直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，4AC =，3BC =，则AD = ．【答案】165【解析】解：在Rt ABC ∆中，225AB AC BC =+=，由射影定理得，2AC AD AB =，2165AC AD AB ∴==，故答案为：165．【知识点】勾股定理；射影定理三、解答题1. (2019四川巴中,18,8分) 如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C 在直线m 上,分别过点A,B 作AE ⊥直线m于点E,BD ⊥直线m 与点D.①求证:EC ＝BD;②若设△AEC 三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.第18题图【思路分析】①由等腰直角三角形可得边和角的关系,从而得到△AEC ≌△CDB,证得EC ＝BD;②利用等面积法,用两种方法表示梯形AEDB 的面积,得到等式,化简后可得勾股定理.【解题过程】①因为△ABC 是等腰直角三角形,所以∠ACB ＝90°,AC ＝BC,所以∠ACE+∠BCD ＝90°,因为AE ⊥EC,所以∠EAC+∠ACE ＝90°,∴∠BCD ＝∠CAE,因为BD ⊥CD,所以∠AEC ＝∠CDB ＝90°,所以△AEC ≌△CDB(AAS),所以EC ＝BD;②因为△AEC ≌△CDB,△AEC 三边分别为a,b,c,所以BD ＝EC ＝a,CD ＝AE ＝b,BC ＝AC＝c,∴S 梯形＝12(AE+BD)ED ＝12(a+b)(a+b),S 梯形＝12ab+12c2+12ab,所以12(a+b)(a+b)＝12ab+12c2+12ab,整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得证.【知识点】等腰直角三角形,同角的余角相等,全等三角形,等面积法2. （2019浙江温州，20，8分）如图，在75⨯的方格纸ABCD 中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A ，B ，C ，D 重合．（1）在图1中画一个格点EFG ∆，使点E ，F ，G 分别落在边AB ，BC ，CD 上，且90EFG ∠=︒．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ ，使点M ，N ，P ，Q 分别落在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且MP NQ =．【思路分析】（1）利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可． （2）如图3中，构造矩形即可解决问题．如图4中，构造52MP NQ == 【解题过程】解：（1）满足条件的EFG ∆，如图1，2所示．（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．【知识点】作图题；勾股定理；全等三角形的判定和性质。