第２1讲ﻩ排列组合内容概述了解排列、组合公式的来由及含义,掌握具体的计算方法；辨析排列、组合之间酌区别与联系，并能够合理应用.典型问题兴趣篇1. 计算：24(1)A ﻩ410(2)Aﻩﻩ3336(3)3A A ⨯+【答案】(1)12 (2)50４0 (3）138【解析】根据排列公式 )1()1(+-⨯-⨯=n m m m A nm 计算 243341036(1)4312(2)109875040(3)3138A A A A =⨯==⨯⨯⨯=⨯+=２.费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相,一共有多少种不同的排列方法? 【答案】24【解析】这种排列是有序的24123444=⨯⨯⨯=A３．体育课上,老师从１0名男生中挑出４人站成一排,—共有多少种不同的排列方法? 【答案】504０【解析】先从１0人中选出4人，再让4人全排列50402102444410=⨯=⨯A C4．费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有8个空座位,他们一共有多少种不同的坐法？ 【答案】168０【解析】先让4人选座位,再让4人全排列168024704448=⨯=⨯A C5．用1至7这７个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?如果把这些三位数从小到大排起来，312是其中第几个？ 【答案】（１）210；(2)第6１人【解析】第一个位置有７中选择第二个位置有6个选择第三个位置有5个选择个是第个，开头的有个，百位是开头的有百位是61312302301)2(210)1(151617=⨯⨯A A A6.计算:25(1)C47(2)C ﻩ3366(2)A C ⨯【答案】(１)１0 （2）35 (3)2400 【解析】根据组合公式24335766547654(1)10(2)35(3)120202*********n n m mn n A C C C A C A ⨯⨯⨯⨯=====⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯7．图21-1中有六个点，任意三个点都不在一条直线上.请问:(１)以这些点为端点,一共可以连出多少条线段? (2)以这些点为顶点，一共可以连出多少个三角形? 【答案】(１）15条；(２）20个【解析】(1）不在同一直线两点确定一条直线2615C =（2）不在同一直线三点确定一个三角形3620C =个8．费叔叔把１0张不同的游戏卡片分给冬冬和阿奇，并且决定给冬冬8张，给阿奇2张．一共有多少种不同的分法? 【答案】４５【解析】先选出8张冬冬，剩下2张就是阿奇的81020C =9．小悦要从八门课程中选学三门,一共有多少种选法?如果数学课与钢琴课时间冲突,不能同时学,她一共有多少种选法? 【答案】50【解析】用排除法八门中任选三门，有56种，数学课与钢琴课同时上有6种,减去不符合题意的6种,318656650C C -=-=种10．象棋兴趣小组一共有9名同学，请问：(1)如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日,共有多少种选法? (２)如果从中选３名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？ 【答案】(１)504种 ; (２）84种【解析】(１）先选出３人再全排列，39987504A =⨯⨯=种（2)这种选人是无序的3984C =种拓展篇1. 计算:25(1)A ﻩﻩ37(2)A4266(3)A A -【答案】(1)2０;(2）210;（3)330 【解析】25(1)5420A =⨯=37(2)765210A =⨯⨯=4266(3)654365330A A -=⨯⨯⨯-⨯=２.如图21-２所示,有５面不同颜色的小旗,任取３面排成一行表示一种信号,用这5面小旗一共可以表示出多少种不同的信号?【答案】60【解析】先从5面旗选出3面旗,再让三面旗全排列3560A =种3.3名同学一块去图书馆借科幻小说，发现书架上只剩下９本，且各不相同．如果每人只借1本,那么共有多少种不同的借法? 【答案】504【解析】先从9本书选出3本书，再让3本书全排列39504A =种4.用１、２、3、4、5这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数？将这些四位数从小到大排列起来,412５是第几个? 【答案】(1）120;(2)74个【解析】（1)第一个位置有5种选法,第二个位置有4种选法,第三个位置有三种选法,第四个位置有2种选法，45120A =（2）千位以1开头的有11143224A A A ⨯⨯=个千位以2开头的有11143224A A A ⨯⨯=个千位以３开头的有11143224A A A ⨯⨯=个千位以4开头第一个4123,第二个就是4125所以243274⨯+=个5. 计算:39(1)Cﻩ321010(2)2C C -⨯ﻩ45(3)C ，15C ﻩ 710(4)C ，310C【答案】(1)8４；(2)30;(３）5,5;（４)120,1２0【解析】39(1)84C =；321010(2)21209030C C -⨯=-= ；45(3)5C =,155C =ﻩ710(4)120C =，310120C =6.如图21-３所示，从端点O 出发的射线共有7条，图中一共有多少个锐角? 【答案】21【解析】夹角最大两条直线间夹角小于９０度,所以这两条直线间的任两条直线组成的角小于90度,2776221C=⨯÷=个7．如图21-4所示,在一个圆周上有８个点,以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段?多少个三角形?多少个四边形?【答案】(1)28条;（2）56个;（3)70个;【解析】（1）不在同一直线两点确定1条直线，2828C=条（２)不在同一直线三点确定１个三角形，3856C=个（3)不在同一直线四点确定1个四边形，4870C=个ﻬ8.9支球队进行足球比赛,实行单循环制，即每两队之间只比赛一场.每场比赛后胜方得3分,平局双方各得1分，负方不得分．请问：一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少?【答案】(1）36场（2）108分【解析】（1)９个队中每２个队比一场2936C=场（2)分总和最多,那就是全赢363108⨯=分9.学校十佳歌手大赛的10名获奖选手中,每3人都要照一张合影．问:需要拍多少张照片? 【答案】120张【解析】没有排序问题所以38120C=１０.在新学期的班会上,大家要从１1名候选人中选出班干部．请问：（１）选出三人组成班委会,那一共有多少种选法？(2)从剩下的候选人中,选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法?【答案】(1)１65种(2）336种【解析】(1)从1１人中选出3人311165C=种（２）从剩下3人选出3人全排列33 83566336C A⨯=⨯=种１１．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇去参加一次聚会，主持人要求每个人从1２个颜色不同的彩球中领取一个.请问：(１)小悦是第一个取球的人，她一共选出了4个球,准备回头分给大家,那一共有多少种选法?（2)小悦回到座位后，把这4个球分给大家，一共有多少种分法?(3)最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能？【答案】(1）４９５种；（2）2４种；（３)1１880种【解析】(1）从12个球中选出4个没有排序问题412495C=种(2)把四个不同色的球分给4个人4424A=种(3）先从12个不同色的球选出４个不同色的球,再分给4个人，44 1244952411880C A⨯=⨯=种12.周末大扫除，老师要从第一组的1０名男生和１0名女生中选出5人留下打扫卫生.请问：(1)如果老师随意选择，一共有多少种选择方法?(2)如果老师决定选出2名男生和3名女生,一共有多少种选择方法?【答案】(1）15504种;（2）５400种【解析】（1）从20人中选出5人32015504C=种(2)从１０名男生选2人,从10名女生选3人2310105400C C⨯=种超越篇1.有一些四位数，它们由４个互不相同且不为零的数字组成，并且这４个数字的和等于１1.将所有这样的四位数从小到大依次排列，第２0个是多少?【答案】51３２【解析】因为由4个互不相同且不为零的数字组成，并且这４个数字的和等于11，只有数字１,2,3,５满足千位1开头有11326A A⨯=个,千位2开头有11326A A⨯=个，千位3开头有11 326A A⨯=个,千位５开头有第一个5123第二个51３2 6＋６+6+2=２02．在身高互不相同的6个人中，选出3个人站成第一排,另外3个人站成第二排．请问: （1)如果可以随便站，那么一共有多少种排法?（2)如果要求第二排最矮的人也比第一排最高的人高,那么一共有多少种不同的排法? 【答案】（１）720种；(2)36种【解析】（1）先从６人中选出3个人为第一排,再全排列,剩下３人为一排再全排列333 633720C A A⨯⨯=种（2)最高三人为第二排，其余三人为第一排，让它们每排分别全排列,333336A A⨯=种3．小口袋中有4个球，大口袋中有6个球，这些球颜色各不相同．请问：（1)任意取4个球出来,那么共有多少种不同的结果?(２)取出4个球,而且恰好从每个口袋中各取２个球，共有多少种不同结果?【答案】(1）2１0种;(2)90种【解析】(1)从小口袋取出４个大口袋取0个,从小口袋取出3个大口袋取1个,从小口袋取出2个大口袋取2个，从小口袋取出1个大口袋取3个,从小口袋取出0个大口袋取４个41322314 44646466180902415210C C C C C C C C+⨯+⨯+⨯+=++++=种(2)每个袋子取两个,是无序的224661590C C⨯=⨯=种4. 在1至３0这3０个自然数中任意挑选出两个不同的数,使得它们的和是偶数，一共有多少种不同的挑选方法?【答案】210种【解析】和为偶数，共2种情况：奇＋奇偶＋偶。

1至30有15个奇数与15个偶数，所以共2×C152=21０种５．如图21-５所示，两条直线上分别有6个点和4个点.以这些点为顶点,可以连出多少个三角形?【答案】9６个【解析】三角形构成共两类：上2下1, 上1下２.Ｃ62×C41+C61×Ｃ42＝96个6. 从15名同学中选出5人,上场参加篮球比赛．请问:(1)如果甲、乙两人必须人选，共有多少种选法?(2)如果甲、乙两人中至少有一人人选,共有多少种选法? (3)如果甲、乙、丙三人中恰好入选一人，共有多少种选法? (4)如果甲、乙、丙不能同时都人选,共有多少种选法？【答案】（1）28６种;（2）17１6种；(3）145８种;(4)29３7种 【解析】(1）甲乙必入选，则剩下13人内选3人, 共C 133＝286种(2）对立事件，减去都不如选的情况 共Ｃ155－Ｃ１３5＝17１6种(3)恰好入选1人，另12人中选4人 共 C 31×C 12４=1４８5种 (４）不能同时入选的对立事件为同时入选 共C 155-C 122=2937种7.一体育课上，老师将冬冬、阿奇和另７名同学分成3组做游戏，每组3人.一共有多少种分组方法?如果要求冬冬和阿奇分到同一组，有多少种分组方法? 【答案】（1）２80种（2)７０种【解析】2285(1)2810280C C ⨯=⨯=种1275(2)71070C C ⨯=⨯=种8. 大、小两个口袋中，装有一些同样的小球．大口袋里装有９个小球，分别编号为l,２，3,…，9;小口袋里装有６ 个小球,分别编号为1,２,３，…，6.从这两个口袋中分别摸出3 个小球,这6个小球的编号一共有多少种可能情况? 【答案】764种【解析】共有球 编号为 7 8 ９的各一个，1 2 ３ 4 ５ ６ 的各两个。