数学苏教选修2-1 综合练习一、选择题 (本大题共10小题，每题5分，合计50分。

将答案填在答题卷的相应位置)1． 已知空间三点的坐标为)2,5,1(-A ，)1,4,2(B ，)2,3,(+q p C ，若A 、B 、C 三点共线，则（ ）A ．3-=p ，2-=qB ．3-=p ，2=qC ．3=p ，2-=qD ．3=p ，2=q2． 设命题甲为：05x <<,命题乙为23x -<,则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3． 抛物线281x y -=的准线方程是（ ） A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y4． 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52 C ．53 D ．1010 NMD CA1D 1C 1B 1A5． 曲线3()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-,则0P 点的坐标为（ ）A ．（1，0）B ．（2，8）C ．（1，0）和（-1，-4）D （2，8）和（-1，-4）6． 已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若⊿AB 2F 是正三角形，则这个椭圆的离心率为（） A．3 C ．2 D 7． 已知(1,1,),(1,,1)t tt t =+=-a b ，则||-a b 的最小值为 （ ）A B C ．2D ．48． 双曲线22221x y a b-=的焦点(,0)c 到它的一条渐近线的距离是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．2a b+9． 已知A ，B 是椭圆2211612x y +=上的两点，2F 是其右焦点，如果228AF BF +=，则AB 的中点到椭圆左准线的距离为（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．1210． 在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，D ，E 分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则1B B 与平面AB D 所成角的余弦值（ ）A ．12B ．23CD1A A二、填空题（本大题共6小题，每题5分，合计30分。

将答案填在答题卷的相应位置）11． 如果质点A 的位移s 与时间t 满足方程32s t =，则在3t =时的瞬时速度为_________．12． 以221124y x -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 ． 13． 已知△ABC 的顶点为)1,1,1(A ，(0,1,3)B -，(3,2,3)C ，则△ABC 的面积是 ．14． 若方程22151x y t t +=--t = ． 15． 设直线,a b 的方向向量是12,e e ，平面α的法向量是n ，则下列推理中①121b α⎫⇒⎬⎭∥∥∥e e e n ②12a b ⎫⇒⎬⎭∥∥∥e n e n③112b b αα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⎭∥∥⊥e n e e ④121b α⎫⇒⎬⎭∥⊥∥e e e n中正确的命题序号是 ．16． 有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m ，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示。

为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为0.25m ，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 ．（精确到0.1m ）三、解答题(本大题共5小题，合计70分)17． （本题12分）若双曲线与2216416x y +=有相同的焦点，与双曲线22126y x -=有相同渐近线，求双曲线方程。

18． （本小题14分）三棱柱111C B A ABC -中，N M 、分别是B A 1、11C B 上的点，且12BM A M =，112C N B N =。

设AB =a ，AC =b ，1AA =c 。

（Ⅰ）试用,,a b c 表示向量MN ；（Ⅱ）若 90=∠BAC ，1160BAA CAA ∠=∠=，11AB AC AA ===，求MN 的长。

B 1C 1A 1NMCBA19． （本小题14分）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点是坐标原点，点(2,4)P ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y 是抛物线上的三点． （Ⅰ）求该抛物线的方程；（Ⅱ）若直线PA 与PB 的倾斜角互补，求线段AB 中点的轨迹方程。

（Ⅲ）若AB ⊥PA ，求点B 的纵坐标的取值范围．20． （本小题15分）如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E 在棱CD 上。

（Ⅰ）求证：11EB AD ⊥；（Ⅱ）若E 是CD 中点，求1EB 与平面1AD E 所成的角。

（Ⅲ）设M 在1BB 上，且123BM MB =，是否存在点E ，使平面1AD E ⊥平面AME ，若存在，指出点E 的位置，若不存在，请说明理由；EABC D A 1B 1C 1D 121．（本小题15分）椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为2，相应于焦点(,0)F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若0=⋅，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：λ-=．答题卷选择题答题卡非选择题：参考答案11．5412．221164y x += 13．92 14．3 15．②③④ 16．4.3m17．1123622=-y x 18．（Ⅰ）1111MN MA A B B N =++1111133BA AB B C =++ 11111()()33333=-++-=++c a a b a a b c 。

（Ⅱ）2()222++=+++⋅+⋅+⋅222a b c a b c a b b c c a111110*********=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， ||++=a b c 1||||3MN =++=a b c 。

19．（Ⅰ）28y x =（Ⅱ）4(2)y x =->（Ⅲ）(][),1220,-∞+∞20．解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 依次为x 轴、y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，并高正方体棱长为1,设点E 的坐标为(0,,0)E t 。

（Ⅰ）1(1,0,1)AD =-，1(1,1,1)EB t =-∵ 11(1,0,1)(1,1,1)0AD EB t ⋅=-⋅-=，∴ 11EB AD ⊥。

（Ⅱ）当E 是CD 中点时，1(1,0,1)AD =-，1(1,,0)2AE =-，设平面1AD E 的一个法向量是(,,)x y z =n ， 则由1(,,)(1,0,1)01(,,)(1,,0)02AD x y z AE x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅=-=⎪⎩n n 得一组解是(1,2,1)=n ，又11(1,,1)2EB =，由1113|cos ,|3||||2EB EB EB ⋅<>===n n n ， 从而直线1EB 与平面1AD E （Ⅲ）平面1AD E 的一个法向量是(,1,)t t =1n ， 平面AME 的一个法向量是5(,1,)2t =-2n∵ 平面1AD E ⊥平面AME ，∴ 255(,1,)(,1,)1022t t t t t ⋅=⋅-=+-=12n n ， 解得12t =或2t =， 故当点E 是CD 的中点时，平面1AD E ⊥平面AME ，21．解：（Ⅰ）由OF FA =得，22a c c=，222a c =，b c =， 又1b =，所以22a =，椭圆方程是2212x y +=。

（Ⅱ） 点(2,0)A ，直线PQ 的斜率显然存在，可设直线方程是(2)y k x =-， 代入椭圆方程并整理得：2222(21)8820k x k x k +-+-=。

设(,)P P P x y ，(,)Q Q Q x y ，,Q Q x x 是此方程的两根，故有 22821P Q k x x k +=+，228221P Q k x x k -=+。

又0=⋅OQ OP ，即0P Q P Q x x y y +=，又(2)P P y k x =-，(2)Q Q y k x =-故222(1)2()40P Q P Q k x x k x x k +-++=， 所以2222222828(1)2402121k kk k k k k -+⨯-⨯+=++， 解得215k =，k =，直线方程是2)y x =-。

（Ⅲ）证法一：AQ AP λ=⇒(2,0)(2,)P P Q Q x y x y λ--=-⇒2(2)P Q P Qx x y y λλ-=-⎧⎪⎨=⎪⎩22P Q x x λ-⇒=-。

依题意(,)P P M x y -。

λ-=⇔(1,)(1,)P P Q Q x y x y λ--=-- 1(1)P Q PQ x x y y λλ-=--⎧⎪⇔⎨-=-⎪⎩， 由于等式P Q y y λ-=-成立，即证1(1)P Q x x λ-=--成立。

21(1)1(1)2P P Q P Q Q x x x x x x λ--+-=-+⨯-- 1[(1)(2)(2)(1)]2P Q P Q Q x x x x x =--+--- 1[23()4]2P Q P Q Q x x x x x =-++- 22221828[234]022121Q k k x k k -=⨯-⨯+=-++。

得证。

证法二：λ=⇒(2,0)(2,)P P Q Q x y x y λ--=-⇒2(2)P Q P Qx x y y λλ-=-⎧⎪⎨=⎪⎩，⇒2(1)P Q x x λλ+-=，1Q P y y λ= 由2212Q Qx y +=可得2222[2(1)]12P P x y λλλ+-+=， 222222(1)2(1)1()12P P P x x y λλλλ-+-++=，考虑到2212P P x y +=， 有222(1)2(1)1P x λλλ-+-=-，又1λ≠， 故32P x λ-=，2(1)312P Q x x λλλλ+--== 依题意(,)P P M x y -。

FM FQ λ=-⇔(1,0)(1,0)P P Q Q x y x y λ---=---，P P y x λ-=-显然成立，即证1(1)P Q x x λ-=-- 由3311(1)(1)(1)022P Q x x λλλλλ---+-=-+⨯-= 即有FM FQ λ=-。