2018年长沙市初中学业水平考试卷数学一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1.（2018湖南长沙，1题，3分）-2的相反数是（ ） A.-2 B.12-C.2D.12【答案】C2.（2018湖南长沙，2题，3分）据统计，2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（ ）A.0.102×105B.10.2×103C.1.02×104D.1.02×103 【答案】C3.（2018湖南长沙，3题，3分）下列计算正确的是（ ） Aa 2+a 3=a 5 B.32221-= C.(x 2)3=x 5 D.m 5÷m 3=m 2【答案】D4.（2018湖南长沙，4题，3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A.4cm,5cm,9cm B.8cm,8cm,15cm C.5cm,5cm,10cm D.6cm,7cm,14cm 【答案】B5.（2018湖南长沙，5题，3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）【答案】A6.（2018湖南长沙，6题，3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）【答案】C7.（2018湖南长沙，7题，3分）将下列左侧的平面图形绕轴l 旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）【答案】D8.（2018湖南长沙，8题，3分）下列说法正确的是（ ） A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B.天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C.“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D.“a 是实数，|a|≥0”是不可能事件 【答案】C9.（2018湖南长沙，9题，3分）估计10+1的值（ ）X+2>02x -4≤0A.在2和3之间B.在3和4之间C.在4和5之间D.在5和6之间 【答案】C【解析】因为9<10<16，所以，<5，因此C 选项正确10.（2018湖南长沙，10题，3分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，下图反映了这个过程中，小明离家的距离y 与时间x 的对应关系，根据图像，下列说法正确的是（ ）A.小明吃早餐用了25minB.小明读报用了30minC.食堂到图书馆的距离为0.8kmD.小明从图书馆回家的速度为0.8km/min【答案】B【解析】图中横轴表示小明离家的时间，纵轴表示离家的距离，由图可知：A.吃早餐用的时间为（25-8）min ，即17min ，故A 错误；B.读报用了(58-28)min,即30min ，故B 正确;C.食堂到图书馆的距离应为(0.8-0.6)km,即0.2km ，故C 错误;D.从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08km/min ，故D 错误。
11.（2018湖南长沙，11题，3分）我国南宋著名数学家秦久韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米 【答案】A【解析】将里换算为米为单位,则三角形沙田的三边长为2.5千米,6千米,6.5千米,因为2.52+62=6.52，所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米，所以S=12×6×2.5=7.5(平方千米)，故选A 12.（2018湖南长沙，12题，3分）若对于任意非零实数a ，抛物线y=ax 2+ax -2a 总不经过点P （x 0-3,x 02-16），则符合条件的点P （ ）A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无穷多个 【答案】B【解析】由题意得y=a(x+2)(x -1)，总不经过点P （x 0-3,x 02-16），将点P 坐标带入抛物线的解析式，得a(x 0-1)(x 0-4)≠(x 0-+4)(x 0-4)恒成立。
①当x 0=1时，得0≠-15，恒成立，带入解析式可得P 1（-2,-15）；①x 0=4时，左边＝右边=0，不符合题意；①当x 0=-4时，得40a≠0，因为a≠0，所以不等式恒成立，带入解析式可得P 2（-7,0）；①当x 0≠1且x0≠4且x 0≠-4时，a≠00045111x x x +=+--不恒成立。
综上所述，存在两个点P 1（-2,-15），P 2（-7,0）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13.（2018湖南长沙，13题，3分）化简1_______.11m m m -=--【答案】114.（2018湖南长沙，14题，3分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为_____度。
第14题图 【答案】9015.（2018湖南长沙，15题，3分）在平面直角坐标系中，将点A’(-2,3)向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A’的坐标是________。
【答案】（1，1）16.（2018湖南长沙，16题，3分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是_______。
【答案】1217.（2018湖南长沙，17题，3分）已知关于x 的方程x 2-3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为______。
【答案】218.（2018湖南长沙，18题，3分）如图，点A ，B ，D 在圆O 上，∠A=20°，BC 是圆O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交BC 于点C ，则∠OCB=______度。
第18题图 【答案】50°【解析】∠A=20°，由圆周角定理，①O=2①A=40°，因为BC 与圆O 相切，所以OB ⊥BC ，①OBC=90°，所以Rt △OBC 中，①OCB=90°-∠O=50°三、解答题（本大题共8个小题，共66分。
解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（2018湖南长沙，19题，6分）计算：()()2018134cos 45π--+解：原式=1-=2.20.（2018湖南长沙，20题，6分）先化简，再求值：(a+b)2+b(a -b)-4ab ，其中a=2，b=12- 解：原式=a 2+2ab+b 2+ab -b 2-4ab=a 2-ab ，当a=2，b=12-时，原式=4+1=521.（2018湖南长沙，21题，8分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）.请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了____名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”.请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？第21题图 解：（1）50；（2）平均数=（4×6+10×7+15×8+11×9+10×10）÷50=8.26，众数：由图可知得到8分的人数最多，为15人，故众数为8，中位数：共50人，排序后第25、26名的平均数为中位数，（8+8）÷2=8；（3）500×1050=100（份），故有500人时准备100份“一等奖”奖品22.（2018湖南长沙，22题，8分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A 、B 两地间的公路进行改建，如图，A 、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地需途经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶，已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°. （1）开通隧道前，汽车从A 地到B 地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从A 地到B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米） 1.73≈≈）第22题图解：（1）过点C 作CD①AB 于点D.Rt①BCD 中，CD=BCsinB=40(km)，Rt①ACD 中，AC=sin CDA=40，AC+BC=40+80≈136.4(km)。
答：开通前，汽车从A 到B 大约要走136.4km 。
（2）Rt①BCD 中，BD=BCcosB=40，Rt①ACD 中，AD=tan CDA=40(km)，AB=AD+BD=40+40≈109.2(km)，AC+BC -AB=136.4-109.2=27.2(km)。
答：开通隧道后，汽车从A 到B 大约可少走27.2km 。
第22题解图23.（2018湖南长沙，23题，9分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元。
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？ 解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，得 ，解得答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元 （2）80×70×（1-80%）+100×80×（1-75%）=3120元 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元。
24.（2018湖南长沙，24题，9分）如图，在∠ABC 中，AD 是边BC 上的中线，∠BAD=∠CAD ，CE∠AD ，CE 交BA 的延长线于点E ，BC=8，AD=3. （1）求CE 的长；（2）求证：∠ABC 为等腰三角形；（3）求∠ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离。
第24题图 解：（1）因为AD 为①ABC 中边BC 上的中线，所以BD=DC ，因为AD①EC ，所以BA=AE ，所以AD 为①BCE 的中位线，CE=6，所以AD=12CE=3 （2）因为AD①EC ，所以①BAD=①E ，①ACE=①CAD ，因为①BAD=①CAD ，所以AC=AE ，又因为BA=AE ，所以AB=AC ，①ABC 为等腰三角形（3）如图，①ABC 中，AB=AC ，BD=DC ，所以AD①BC ，因为BC=8，AD=3，由勾股定理可得，AB=AC=5圆P圆Q 为①ABC 的外接圆和内切圆，连BP 、AP ，因为PA①BC ，所以在Rt①BDP 中，R 2-(R -3)2=42，所以R=256，PD=76，①ABC 中，连接BQ 、CQ ，CDAB6x+3y=66050×0.8x+40×0.75y=5200x=70y=801111,2222ABC ABCS BC AD S AB r AC r BC r=⋅=⋅+⋅+⋅△△44475,,33362r QD PQ===+=即所以第24题解图25.（2018湖南长沙，25题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数myx=(m为常数，m>1，x>0)的图像经过点P(m,1)和Q(1,m)，直线PQ与x轴，y轴分别交于C、D两点，点M(x,y)是该函数图像上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B（1）求∠OCD的度数；（2）当m=3，1<x<3时，存在点M使得∠OPM∠∠OCP，求此时点M的坐标；（3）当m=5时，矩形OAMB与∠OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由。