现以管道中心线为圆柱坐标系轴线, 并用x表示 (图3.1.3), 该方向速度为u.对于平行流动, 径向 和周向分速度为零, 故可按照与前面类似的讨论 得知 : u不随x变化, 只随径向位置r变化; 压力P不 dP 随r变化, 只随x变化, 且 常数.这时,由圆柱 dx 坐标系表示的动量方程[附录三, 式( A3.3.14c)] 可得 d 2 u 1 du dP 2 r dr dx dr
du dy
0
y h
由式(3.1.8)可知此条件对应于 dP U 2 dx 2 h B 1/ 2 1 当B 时, 速度大的流层对静止壁面附近流体微团的 2 拖动力不足以克服逆压力梯度,因而出现逆流.
3.哈根-泊肃叶流动

这是直圆管中的平行 流动。为保证是真正 的平行流动，需要满 足两个条件：第一， 以管道直径为特征长 度的雷诺数应低于某 临界值以保证流动为 层流（第七章）；第 二，管道足够长，以 形成充分发展了的管 道流(§10-6)。
若存在位函数 , 使 u grad 则由连续方程可得 u (grad ) 2 0 于是得 u (grad ) grad( ) 0
2 2 2
可见, 若此位函数 满足不可压无粘运动方程组 u 0 u 1 (u )u p t
h dP B U dx
2

图（3.1.2）上表示出各种压力梯度下的速度分布。对于B ＞0，即压力沿流动方向下降，称为顺压力梯度，在整个 槽道内速度为正值。当B＜0，压力沿流动方向增加，称 为逆压力梯度。当B小于某个负值后，槽道内靠近静止壁 面的某些区域内的速度为负，即出现逆流。开始出现逆 流的条件是



迄今得到的精确解几乎都是对不可压常值物性 的流体做出的，这种流体的密度、粘性系数和 热传导系数为常数。这时不需将能量方程与质 量和动量方程耦合，可在解得速度、压力后单 独求解温度（§2-4） 在第七章将说明，在高雷诺数下流体运动将变 得不稳定，可能最终转变为湍流。下面将要讨 论的这些精确解尽管在高雷诺数下其数学解析 关系仍是正确的，但这种解是不稳定的，因而 物理上是不存在的。所以这些精确解只对低雷 诺数有效，即本质上是层流解。 在开始讨论真正的精确解之前还应附带指出， 不可压位势流的解也可看成是纳维-斯托克斯方 程组的精确解，因为这时位势函数也使粘性项 变为零。
2 h dP y u 1 2 dx h 可见速度剖面为抛物型.等式右端的负号表示速度指向压力 2
降低的方向若用 . umax 速度剖面可表示为
h 2 dP 表示中线上的最大速度, 则 2 dx
y 2 u umax 1 h
情况分别求解.
1.二维泊肃叶流动
对于两个平行直壁之间的定常二维流动, 方程(3.1.2)成为 dP d 2u 2 dx dy 若两平行壁面都是静止的, 如图3.1.1所示, 则边界条件 为 y h : u 0 其中2h为壁间距离.
由于P只是x的函数, 而u只是y的函数, 若要方程(3.1.3) 成立, 必须 dP d 2u 2 常数 dx dy 将此式对y积分, 考虑到边界条件(3.1.4), 则
2.库埃特流动

这是另一种平行直壁之间 的流动，其中一个直壁静 止不动，另一直壁在自身 所在平面内沿流向移动 （图3.1.2）。这时方程 (3.1.3)仍然成立，因而式 （3.1.5）也成立，但边 界条件应改为 y h : u 0 y h:u U 其中U 为上壁面平移速度.
方程(3.1.3)满足此边界条件的解为
2 U y h dP y u 1 1 2 h 2 dx h 当压力梯度为零时 2

U y u 1 2 h 这种特殊情况称为简单库埃特流动，即流体完全由运 动壁面通过粘性力而拖动。一般的库埃特流动是在这 简单流动上迭加一个由式（3.1.6）描写的有压力梯度 的流动。压力梯度的影响与如下的无量纲压力梯度B 有关
于是由不可压纳维 斯托克斯方程(2.2.8)关于y 和z向的分量可得P / y 0和P / z 0, 即压力 函数P只是坐标x和时间t的函数, P P (t , x).由平 行流定义式(3.1.1)可得, 动量方程(2.2.8)关于x向 的分量方程中平流项为零, 于是
2 2 u dP u u 2 2 t dx z y 此即关于u ( y, z , t )的线性微分方程以下分几种 .

本章讨论的精确解包括两大类。第一类是解析 解，即未知函数完全由自变量解析地描述，且 描述关系中不再包含导数或积分号。第二类是 相似解，它在二维（包括轴对称）问题时可以 化成一维问题，即可由常微分方程（组）的解 表示。在所得出的这些常微分方程（组）中， 有些至今未找到解析解，而只有数值解。由于 这些常微分方程（组）具有通用性，其数值解 也有通用性，故常列表给出。
Hale Waihona Puke 则它也满足对应的粘性方程组 u 0 u 1 (u )u p 2u t 因它使 u 0.
2

但是位势解一般不能满足无滑移边界条件，因为， 若在固壁边界处保证法向速度为零，则由位势函数 可决定其切向分速，因而一般情况下不能保证为零。 所以，不能把位势流看成是纳维-斯托克斯方程的有 物理意义的解。但也有例外情况，当固体边界运动 时，位势函数可能构成纳维-斯托克斯方程的有实际 意义的解（见§3-3）。
§3-1 平行定常流动中的 速度分布
平行流动是特别简单的一类流动, 其定义是只有一个速度分量 不为零, 所有流体微团沿同一方向运动不失一般性 . , 可设全流场 u v和w都为零, 则由不可压流量连续方程式(2.1.3)可知, 0,即 x 分量u不随x变化, 所以对于平行流可得 u u ( y, z , t ), v 0, w 0 设彻体力F 有势,即存在势函数H 使 F H 则可引入压力函数P, 使 P p H