初中数学竞赛试题汇编文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]C（第2题中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120分，考试时间120 分钟）一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）A ．41B ．31C ．21 D ．12．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ）A ．38B ．39C ．40D . 413．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则yx的值等于（ ） A ．95B ．59C ．52011-D ．92011- 4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）A ．6B . 7C ．8D ．95．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数22(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形6 照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2 据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ） （1）（第6题A ．5种B ．6种C ．10种D ．12种二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 .8．（人教版考生做，在 ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB=4，BE =5，则DE 的长为 ．8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF= ． 9．已知012=--a a ，且3222322324-=-++-axa a xa a ，则=x ． 10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，yx四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(y x 为 ．3个小题，每小题20分，共60分）13分） ))(())(()a x c x c x b x ++++++是完全平方式．求证： c b a ==．14.分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ． （1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ； （2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值(第11题图)A B C D （第8题图A ） GF ECB A（第8题图B ）D（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的31若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 15.（本题满分20分）对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=.（1）证明：抛物线q px x y ++=2通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.2013年全国初中数学竞赛试题考试时间 2013年3月17日 9：30－11：30 满分150分答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答；.解答书写时不要超过装订线； 草稿纸不上交。

一、选择题（共5个小题，每小题7分，共35分。

每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.设非零实数a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=++=++0432032c b a c b a ，则222c b a cabc ab ++++的值为（ ） (A) -21 ( B) 0 (C) 21(D) 1 2.已知a 、b 、c 是实常数，关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个非零实根，则下列关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ） (A) 0)2(2222=+-+a x ac b x c ( B) 0)2(2222=+--a x ac b x cO(C)0)2(2222=--+a x ac b x c (D) 0)2(2222=+--a x ac b x c 3，如图，在Rt △ABC 中,已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB,垂足为D ，DE ⊥OC,垂足为E ，若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD 、OE 、DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ） (A) OD ( B) OE (C) DE (D) AC4、如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，且BC=4AF ，DCFE 是平行四边形，则图阴影部分(△ADE)的面积为（ ）。

(A) 3 ( B) 4 (C) 6 (D) 85．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：60)1()1(4533*333223-++++++=y x xy y x x y x ，且z y x z y x *)*(**=2013*2012*……*3*2的值为（ ） (A)967607 ( B) 9671821 (C) 9675463 (D) 96716389二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6.设33=a ，b 是2a 的小数部分，则3)2(+b 的值为７.如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5则四边形AEFD 的面积是 。

８.已知正整数a 、b 、c 满足0222=--+c b a ，0832=+-c b a ，则a b c 的最大值为 。

９.实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程02=++d cx x 的两根为a ，b ，一元二次方程02=++b ax x 的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组（a ，b ，c ，d ）为 。

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元。

开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔。

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11.如图，抛物线32-+=bx ax y ，顶点为E ，该抛物线x 与轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB=OC=3OA 。

直线131+-=x y 与y 轴交于点D ，求∠DBC-∠CBE.12.、设△ABC 的外心，垂心分别为O ，H ，若B ，C ，H ，O 共圆，对于所有的△ABC ，求 ∠BAC 所有可能的度数。

13.设a ，b ，c 是素数，记a c b x -+=，b a c y -+=，c b a z -+=，当y z =2，2=-y x 时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长证明你的结论。

14.如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数），求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数n a a a ,21 ⋯，满足任意一个正整数m ，在n a a a ,21⋯中都至少有一个为的m 魔术数。

2013年全国初中数学联赛江西预赛试题时间：2013年3月10日上午9：00－11：30一、选择题（每小题7分，共6题，计42分）1、若n m n m nn m 、且,532-=同号，则222232654nmn m n mn m +-+-的值是（ ） A 、7 B 、6 C 、5 D 、42、若△ABC 中，AB ＝26-，BC=2, △ABC 的面积是1，若∠B 是锐角，则∠ACB 的度数是（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75°3、若097,09722=++=++b b a a ，ab ≠1, 则baa b-的值为（ ） A 、313B 、313- C 、313± D 、0 4、一块木板上钉有9枚铁钉，钉尖向上如图，用橡皮盘套住往其中4枚铁钉，构成一个平行四边形，共有套法（ ） A 、82 B 、40 C 、22 D 、215一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，在正整数列中，从1开始数起，问第1990个“智慧数”是（ ） A 、2663 B 、2664 C 、2665 D 、26266、能使方程mx 2 +2(2m-1)x+4(m-3)=0至少有一个整数解的正整数a 的值的个数有（ ）A 、3B 、4C 、5D 、6二、填空题（每题7分，共4小题，计28分）7、如图：在△ABC 中，AB ＝9，BC=4,Q 为AC 的中点，P 为AB 边上一点，且∠APQ=90°+21∠B ，则BP 的长为______8、为了迎接2016年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则及奖励方案如下表：胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金（元/人）1500700当比寒进行到12轮结束（每人均需要12轮）时，A 队共积分19分，若每赛一场队员人均出场费500元，设A 队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W 元，则W 的最大值是_________9、已知a 、b 、c 、d 是四个不同的实数，且（a+c ）(a+d)=-2013,(b+c)(b+d)=-2013, 则(a+d)(b+d)=--_______10、已知⊙O 的半径为6，四边形ABCD 是圆内接四边形，对角线AC 与BD 交于点E,CE ＝，若AC 是直径，且AD=BD ，则四边形ABCD 的周长是_______ 三、解答题（70分）11、（满分20分）已知方程x 2+ax+2a+2=0有两个整数解，求a 的值。