4．2.2指数函数的图象和性质(一)学习目标1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域．知识点指数函数的图象和性质指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：预习小测自我检验1．函数y＝(3－1)x在R上是________函数．(填“增”“减”) 答案减2．函数y＝2－x的图象是________．(填序号)答案 ②3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫131－x的定义域为________． 答案 R4．函数f (x )＝2x ＋3的值域为________． 答案 (3，＋∞)一、指数函数的图象及应用例1 (1)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D(2)函数f (x )＝1＋a x －2(a >0，且a ≠1)恒过定点________． 答案 (2,2)(3)已知函数y ＝3x 的图象，怎样变换得到y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1＋2的图象？并画出相应图象． 解 y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1＋2＝3－(x ＋1)＋2. 作函数y ＝3x 关于y 轴的对称图象得函数y ＝3－x 的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y ＝3－(x ＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y ＝3－(x ＋1)＋2＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1＋2的图象，如图所示．反思感悟 处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．跟踪训练1(1)已知0<a<1，b<－1，则函数y＝a x＋b的图象必定不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 A解析函数恒过点(0,1＋b)，因为b<－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．故图象不经过第一象限．(2)画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．①y＝2x＋1；②y＝－2x.解如图．①y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的．②y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．二、指数型函数的定义域和值域例2求下列函数的定义域和值域：(1)142;xy-=(2)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |； (3)y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x.解 (1)x 应满足x －4≠0，∴x ≠4， ∴定义域为{x |x ≠4，x ∈R }． ∵1x －4≠0，∴142x -≠1， ∴y ＝142x -的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)定义域为R .∵|x |≥0，∴y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |＝⎝⎛⎭⎫32|x |≥⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－⎝⎛⎭⎫12x ≥0， ∴⎝⎛⎭⎫12x≤1＝⎝⎛⎭⎫120， ∴x ≥0，∴定义域为{x |x ≥0，x ∈R }． ∵x ≥0，∴⎝⎛⎭⎫12x≤1. 又∵⎝⎛⎭⎫12x>0，∴0<⎝⎛⎭⎫12x ≤1. ∴0≤1－⎝⎛⎭⎫12x<1，∴0≤y <1，∴此函数的值域为[0,1)．反思感悟 指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y ＝a x 型还是y ＝a f (x )型，前者的定义域是R ，后者的定义域与f (x )的定义域一致，而求y ＝f (a x )型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性． 跟踪训练2 (1)求下列函数的定义域、值域：①y =②2231.2x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭解 ①由5x －1≥0，得x ≥15，∴所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥15. 由5x －1≥0，得y ≥1，∴所求函数的值域为[1，＋∞)． ②定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴22312x x --⎛⎫⎪⎝⎭≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16.又∵22312x x --⎛⎫⎪⎝⎭>0，∴函数22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0,16]．(2)求函数y ＝4x －2x ＋1的定义域、值域． 解 函数的定义域为R ， y ＝(2x )2－2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫2x －122＋34， ∵2x >0，∴当2x ＝12，即x ＝－1时，y 取最小值34，同时y 可以取一切大于34的实数，∴值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.1．函数f (x )＝πx 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx的图象关于( ) A ．原点对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称 D ．直线y ＝－x 对称答案 C解析 设点(x ，y )为函数f (x )＝πx 的图象上任意一点，则点(－x ，y )为g (x )＝π－x ＝⎝⎛⎭⎫1πx 的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于y 轴对称，所以函数f (x )＝πx 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx 的图象关于y 轴对称，选C. 2.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 答案 D解析 从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到的，所以－b >0，即b <0. 3．函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点______． 答案 (3,4)解析 因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝a x －3＋3的图象过定点(3,4)． 4．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________． 考点 指数函数的定义域 题点 指数型复合函数的定义域 答案 (－3,0]解析 由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0.5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |，则f (x )的值域为________． 答案 (0,1]解析 因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12－x ，x <0，所以其图象由y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥0)和y ＝2x(x <0)的图象合并而成，如图．1．知识清单：(1)指数函数的图象．(2)指数函数的性质：定义域、值域、单调性及过定点．2．方法归纳：数形结合法，换元法．3．常见误区：在求值域时易忽视指数函数隐含的条件a x>0.1．函数y＝2x－1的定义域是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)答案 C解析由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.2．已知函数f(x)＝4＋a x＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是() A．(－1,5) B．(－1,4) C．(0,4) D．(4,0)答案 A解析当x＋1＝0，即x＝－1时，a x＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是()考点指数函数的图象与性质题点指数函数图象的应用答案 B解析函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝a x.由已知a>1，故选B. 4．函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞) B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)答案 C解析要使函数式有意义，则16－4x≥0.又因为4x>0，∴0≤16－4x<16，即函数y＝16－4x的值域为[0,4)．5．函数f(x)＝a x与g(x)＝－x＋a的图象大致是()答案 A6.已知f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的图象如图，则f (3)＝________.答案 33－3解析 由题意知，f (x )的图象过点(0，－2)和(2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0＋b ＝－2，a 2＋b ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3(a ＝－3舍)，b ＝－3.所以f (x )＝(3)x －3，所以f (3)＝(3)3－3＝33－3.7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0，∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．8．已知f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，∴a ＋a 2＝6，即a 2＋a －6＝0，∴a ＝2或a ＝－3(舍)．9．求函数f (x )＝113⎛ ⎪⎝⎭的定义域、值域．解 要使函数有意义，则x 应满足x 2－2x ≥0，即x ≥2或x ≤0， 所以所求函数的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，令t ＝x 2－2x －1，所以t ≥－1，又y ＝⎝⎛⎭⎫13t 为减函数，所以0<⎝⎛⎭⎫13t ≤⎝⎛⎭⎫13－1，即0<⎝⎛⎭⎫13t ≤3，所以f (x )的值域为(0,3]．10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解 (1)函数图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，所以a 2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知函数为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0<⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，所以函数的值域为(0,2]．11．函数y ＝12x x -－1的定义域、值域分别是() A ．R ，(0，＋∞)B ．{x |x ≠0}，{y |y >－1}C ．{x |x ≠0}，{y |y >－1，且y ≠1}D ．{x |x ≠0}，{y |y >－1，且y ≠0}答案 C解析 要使y ＝12x x -－1有意义，只需x －1x 有意义，即x ≠0.若令u ＝x －1x ＝1－1x ，则可知u≠1，∴y≠21－1＝1.又∵y＝12xx-－1>0－1＝－1，∴函数y＝12xx-－1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y>－1，且y≠1}．12．若函数y＝a x＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有() A．0<a<1，且b>0 B．a>1，且b>0C．0<a<1，且b<0 D．a>1，且b<0答案 C解析函数y＝a x＋b－1(a>0，且a≠1)的图象是由函数y＝a x的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x(0<a<1)的图象向下平移大于1个单位长度，即b－1<－1，所以b<0.13．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域是________．答案(1，＋∞)解析令2x＝t(t>0)，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2，该函数在t∈(0，＋∞)上递增，所以y>1，即原函数的值域为(1，＋∞)．14．已知方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．答案[1，＋∞)∪{0}解析作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与y ＝|2x －1|的图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.15．已知1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )答案 C解析 由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.16．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|x |－1.(1)作出f (x )的简图；(2)求f (x )的单调区间；(3)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x －1，x ≥0，3x －1，x <0，如图所示，(2)由图知，f (x )的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)．(3)作出直线y ＝3m ，当－1<3m <0，即－13<m <0时， 函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点，即关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解时，m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－13，0.。