a
b
a b C C
⑵坐标运算：设 a x1, y1 ， b x2,为 x1, y1 ， x2, y2 ，则 x1 x2, y1 y2 ．
19、向量数乘运算：
⑴实数 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a ．
①建立适当的坐标系．
②设平面 的法向量为 n (x, y, z) ．
③求出平面内两个不共线向量的坐标 a (a1, a2, a3), b (b1,b2,b3) ．
④根据法向量定义建立方程组
n
a
0
.
n b 0
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量.
（如图）
4
1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行
⑷坐标运算：设两个非零向量 a x1, y1 ， b x2, y2 ，则 a b x1x2 y1y2 ．
3
若 a x, y ，则 a 2 x2 y2 ，或 a x2 y2 ． 设 a x1, y1 ， b x2, y2 ，
则 a b x1x2 y1y2 0 ．
x1,
y1
， x2,
y2
，当
1
2
时，点
的坐标是
x1 x2 1
,
y1 y2 1
．（当
1时，就为中点公式。）
2.3 平面向量的数量积
23、平面向量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的 和。）：
⑴ a b a b cos a 0,b 0,0 180 ．零向量与任一向量的数量积为 0 ．
即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平 面外
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行
若平面 的法向量为 u ，平面 的法向量为 v ，要证 ∥ ，只需证 u ∥ v ，即证 u v .
即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 l1, l2 的方向向量分别是 a 、b ，则要证明 l1 l2 ，只需证明 a b ，即 ab 0 .
设直线 l1, l2 的方向向量分别是 a 、b ，则要证明 l1 ∥ l2 ，只需证明 a ∥ b ，即 a kb(k R) .
即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线。 ⑵线面平行
①（法一）设直线 l 的方向向量是 a ，平面 的法向量是 u ，则要证明 l ∥ ，只需证明 a u ，即 a u 0 .
21、平面向量基本定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数 1 、 2 ，使
a 1e1 2e2 ．（不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点 是线段 12 上的一点， 1 、 2 的坐标分别是
① a a ；
②当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相
反；当 0 时， a 0 ．
⑵运算律：① a a ；② a a a ；③ a b a b ．
⑶坐标运算：设 a x, y ，则 a x, y x, y ．
2
20、向量共线定理：向量 a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使
b a ．
设 a x1, y1 ， b x2, y2 ，其中 b 0 ，则当且仅当 x1 y2 x2 y1 0 时，向量
a 、 b b 0 共线．
2.2 平面向量的基本定理及坐标表示
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量：
若 A、B 是直线 l 上的任意两点，则 AB 为直线 l 的一个方向向量；与 AB 平 行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量.
⑵．平面的法向量：
若向量 n 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作
n ，如果 n ，那么向量 n 叫做平面 的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
⑵性质：设 a 和 b 都是非零向量，则① a b a b 0 ．②当 a 与 b 同向时， a b a b ；当 a 与 b 反向时， a b a b ； a a a2 a 2 或 a a a ．③
ab a b ．
⑶运算律：① a b b a ；② ab a b a b ；③ a b c a c b c ．
平面向量知识点归纳
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第一章 平面向量
2.1 向量的基本概念和基本运算 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为 0 的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平 行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：
a b ab a b ．
⑷运算性质：①交换律：
ab b a； C
②结合律： a b c a b c ；③ a 0 0 a a ．
⑸坐标运算：设 a x1, y1 ， b x2, y2 ，则 a b x1 x2, y1 y2 ．
18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
设 a 、 b 都是非零向量， a x1, y1 ， b x2, y2 ， 是 a 与 b 的夹角，则
cos a b x1x2 y1y2 ．
ab
x12 y12 x22 y22
知识链接：空间向量
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几
何中证明，求值的应用进行总结归纳.