a2n 的大小，并说明理由 .
参考答案
一 . 填空题
0, n 1
1. 6
2. 7
3.
4. 2
2n 1, n 2
5. { x | x
1 arccos 2k , x
3
k ,k Z} 6
7. m cn 1 cn 2
cn m
10. 505
11. 2048
11
1
8. 1
n
23
2
12. n(2n 1 1)
23
} 的前 n 项和 Sn .
2
18. 已知 b、 c 为常数且均不为零，数列 { an} 的通项公式为 an a1 、 a3 、 a2 成等差数列， a1 、 a2 、 a4 成等比数列 .
b n 1, n为奇数
，并且
c 3n , n为偶数
（1）求 b、 c 的值；
（2）设 Sn 是数列 { an} 前 n 项的和，求使得不等式 S2n 20182 成立的最小正整数 n.
复旦附中高一期末数学试卷
2018.06
一 . 填空题
1. 在等差数列 { an} 中，若 a4 0 ， a6 a7 10 ，则 a7
2. 在数列 1、 3、 7、15、…中，按此规律， 127 是该数列的第
项
3. 已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn n2 1 ，那么数列 { an} 的通项公式为
（2） a10 100000(1.05)10 m(1.05)9 m(1.05)8
m 0，
100000(1.05)10
m(1 1.0510 )
100000(0.05)(1.05)10
0， m
10
12950 .
1 1.05
(1.05) 1
20.（ 1） a1
3 时， { an
3n } 为等比数列，公比为
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
三 . 解答题
17. 已知 { an} 是一个公差大于 0 的等差数列， 且满足 a4a6 96 ， a3 a7 20 ，数列 { bn} 满
足等式： an
b1 2
b2 22
b3 23
bn 2n
(n
N* ) .
（1）求数列 { an} 的通项公式；
n1
（2）求数列 { bn
2；
5
5
（2） an
(a1
3 )(
2)n 1
3n
5
5
0，n
2 ，∴ a2
0 ， a3
0 ，∴
3 4
a1
3
.
2
21.（ 1） an 2 an 1 an 1 an ，即 bn 1 bn ， 2(a5 a4 ) a4 a2 ；
（2） | S1 | | S3 | 2 | S2 |， 1 | 3 6d | 2| 2 2d |，解得 d (
（2）若 a (0,1) ，数列 { an} 都是单调递增数列；
（3）若 a Z ，任取 { an } 中的 9 项 ak1 、 ak2 、 … 、 ak9 (1 k1 k2
k9 ) 构成数列 { an}
的子数列 { akn } ， n 1,2, ,9 ，则 { akn } 都是单调数列 .
A. 0 个
（2）求每年的还款额（精确到 1 元） .
20. 设数列 {an} 的首项 a1 为常数，且 an 1 3n 2an ( n
n
（1）判断数列 { an
3 } 是否为等比数列，请说明理由； 5
N*) .
（2） Sn 是数列 { an} 的前 n 项的和，若 { Sn} 是递增数列，求 a1 的取值范围 .
an m (m N* ) 也为等差数列，类比上述
m
性质，相应地，若正项数列 { cn} 是等比数列，则数列 d n
也是等比数列
13
111
11
8. 观察下列式子： 1
，1
2， 1
22
234
23
的不等式是
15
， … ，你可归纳出
82
9. 在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数 之剩二，五五数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，
列的通项公式可以表示为 an
该数
10. 对于下列数排成的数阵：
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
它的第 10 行所有数的和为
11. 对于数列 { an} 满足： a1 1， an 1 an { a1,a2, ,an} ( n N * ) ，其前 n 项和为 Sn ，记
满足条件的所有数列 {an} 中， S12 的最大值为 a，最小值为 b，则 a b
）
) ，若 k 5
N * ，则在下列数列中，可取遍数列
{ an} 前 6 项值
A. {a2k 1}
B. { a3k 1 }
C. { a4k 1}
D. { a5k 1}
16. 数列 { an} 中，若 a1 a ，an 1 sin( 2 an ) ，n N * ，则下列命题中真命题个数是 （
）
（1）若数列 { an} 为常数数列，则 a 1 ；
3 , ) (0,
5
)；
（3）数学归纳法， un vn .
4. 若在等比数列 { an} 中， a1 a2 a9 512 ，则 a5
5. 方程 (3cos x 1)(cosx 3sin x) 0 的解集是
6. 若数列 { an} 满足 a1 13 ， an 1 an n ，则 an 的最小值为 n
7. 若数列 { an} 是等差数列，则数列 bn an 1
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件Βιβλιοθήκη D. 既不充分也不必要条件
14. 在数列 {an} 中， a1
1， a2
64 ，且数列 { an 1} 是等比数列，其公比 an
q
{ an} 的最大项等于（
）
1
，则数列
2
A. a7
B. a8
C. a9
D. a10
15. 若数列 an
的数列为（
cos( n 3
（2）已知数列 { an} 是首项为 1，公差为 2d 的等差数列， Sn 是其前 n 项的和，若数列
{| Sn |} 是“ M 数列”，求 d 的取值范围；
（3）已知数列 { an} 是各项均为正数的“ M 数列”，对于 n 取相同的正整数时，比较
un
a1
a3 n
1
a2 n 1 和 vn
a2 a4 n
6.
5 n2
2
9. 105n 23
二 . 选择题 13. A
14. C
15. D
16. C
三 . 解答题
17.（ 1） 2n ；（ 2） bn
2n
1
，
Sn
2n 2
4
n(n
3)
.
4
18.（ 1） b 2 ， c 1；（ 2） S2n 2n2 n 9n 1 9 20182 ， n 7 . 8
19.（ 1） a2 100000(1 5%) 2 m(1 5%) m 110250 2.05m ；
21. 如果数列 { an} 对任意的 n N * 满足： an 2 an 2an 1 ，则称数列 { an} 为“ M 数列” .
（1）已知数列 { an} 是“ M 数列”，设 bn an 1 an ， n N* ，求证：数列 { bn} 是递增数列，
并指出 2(a5 a4) 与 a4 a2 的大小关系（不需要证明） ；
19. 王某 2017 年 12 月 31 日向银行贷款 100000 元，银行贷款年利率为 5%，若此贷款分十 年还清（ 2027 年 12 月 31 日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同） ，设第 n 年末
还款后此人在银行的欠款额为 an 元 . （1）设每年的还款额为 m 元，请用 m 表示出 a2 ；
12. 设 n N * ，用 An 表示所有形如 2r1 2r2
2rn 的正整数集合，其中
0 r1 r2
rn n ，且 ri N (i N * ) ， bn 为集合 An中的所有元素之和，则 {bn} 的
通项公式为 bn
二 . 选择题
13. “ b 是 1 3 与 1 3 的等差中项”是“ b 是 2 3 与 2 3 的等比中项”的（