古代学术传播路线图
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2 无穷小算法时期
• 算法精神在文艺复兴之前就通过阿拉伯人传播到 欧洲，被欧洲学者所吸收，并结出了最丰硕的成 果，这就是作为近代数学两大标志的解析几何和 微积分的诞生。
• 解析几何
• 首先来看解析几何的诞生。如果我们去阅读笛卡 儿的原著，就会发现贯串于其中的彻底的算法的 和代数的精神。《几何学》开宗明义就宣称： “我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术 语，以便使自己变得更加聪明”。
• 《九章》没有表示未知数的符号，而是用算筹将x,y,z的系数和常 数项排列成一个（长）方阵：
1 2 3
2
3
2
3 1 1
2
6
34
3
9
• “方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下 ：用右行的系数（3）“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果
按行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与
Vh(a2abb2) 3
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巴比伦泥板文书
六十进位值制记数法,方程—一元二次方程算法,面积,体积计算,句股定理 计算
2 1;24,51,101.414213 耶鲁728(9160B0.C.)
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十进制记数,分数运算,句股定理,
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周公测景台 (河南登封)
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微积分
• 从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系 列实际问题的普遍算法的结果。有学者把这些问题概括为 四大类：
• （1）决定物体的瞬时速度 • （2）求极大值与极小值 • （3）求曲线的切线、曲率 • （4）求物体的重心及相互引力、面积与体积计算、曲线
• 无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用 的算法都是不严格的，都没有认真的演绎推导。 牛顿的流数术在逻辑上的瑕疵是众所周知的。对 当时的学者来说，首要的是找到行之有效的算法 ，而不是算法的证明。这种倾向一直延续到18世 纪。
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• 18世纪的数学家不管微积分基础方面的困 难而大胆前进，发展完善牛顿与莱布尼茨 的微积分，并将其广泛应用于其它领域（ 特别是力学）和数学内部，开拓了被称为 分析的广阔领域（微积分及其应用），开 创了分析、代数、几何三足鼎立的新格局 。 18世纪在数学史上因此也被称为“分析 时代”。这一时代的英雄如：
求长等。 • 从16世纪中开始100多年间，许多大数学家（开普勒、卡
瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯…）都致力于获得 解决这些问题研究并创造了许多适用于不同类问题的特殊 算法。牛顿与莱布尼茨的功绩是在于将这些特殊的算法统 一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它们 的互逆关系，完成了微积分的制定。
二、 希腊演绎几何时期
古代实用算法积累到一定阶段，对它们进行系统整 理与理论概括必然形成趋势，但这一任务并不是由 早期河谷文明本身来担当的。向理论数学的过渡， 是大约公元前6世纪在地中海沿岸开始的，历史学家 常称之为“海洋文明”，带来了初等数学的第一个
黄 金时代，即以论证几何为主的希腊数学时代。
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• 早期游历埃及的希腊学者如泰勒斯等，接 触并熟悉了那里的经验几何计算法则，并 产生了证明这些法则的想法。后来的毕达 哥拉斯学派的成员们不仅证明了不少的几 何命题，而且还开始按一定的逻辑顺序把 已知的命题排列起来。从公元前320年左右 欧多谟斯所写的几何学史的残篇断简，我 们可以了解到几何学命题在当时是怎样逐 渐地增添起来的。一直到公元前300年左右 ，欧几里得最终集大成建立起系统的演绎 几何体系,即公理化体系。
(约公元370—415)
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三、 算法的繁荣
• 数学史上继希腊几何兴盛时期之后是一个 漫长的算法繁荣的时期。按本质来讲，这 个时期一直延续到17～18世纪，其间又分 为两个在地域和程度上都不同的发展阶段 。
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1 中世纪的东方算法
• 中世纪时，算法精神在中国和印度得到了高度发 扬。此时中国和印度的算法时代比原始算法时期 有质的提高。这时期所创造的算法，不都是简单 的和平易的算法了，有许多算法即使按现代标准 衡量也达到了很高的水平。这里仅以我们熟悉的 中国数学史为例。从汉代以来，中国数学家创造 了解多元一次方程组的“遍乘直除”算法，计算 圆周率的割圆术算法；隋唐天算家创造了内插公 式“招差术”算法；秦九韶创造了解一次同余组 的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负 开方术”算法，以及宋元之际李冶、朱世杰等创 造的设未知数列方程的方法（“天元术”、“四 元术”）及相应的多元高次方程组消元算法等。
左行的系数化为0。反复执行这种“遍乘直除”算法，就可以解出
方程。“遍乘直除” 算法，实质上就是我们今天所使用的解线性
联立方程组的消元法，以往西方文献中称之为“高斯消去法”，
202但0/8近/3 年开始改变。
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这些算法所表达的数学真理有些在欧洲要 到18世纪以后运用近代数学工具才能重新 获得：
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B.泰勒
C努利&雅各布.伯努利 兄弟
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L.欧拉(1707-1783)
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达朗贝尔
拉普拉斯
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拉格朗日
蒙日
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18世纪数学家们创造的一些分析方法， 如泰勒公 式，欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的 三角展开等，都是作为有效的算法而广泛地被数 学家们所采用，但却充满了争论。正如冯·诺依曼 指出的那样：没有一个数学家会把这一时期的发 展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被 公认为是第一流的。并且反过来，要是当时的数 学家一定要在有了严密的演绎证明之后才承认他 们的新算法的合理性，那恐怕就不会有今天的微 积分和整个分析大厦了。
“算”和 “证”
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• 我们将会发现，数学的发展呈现出算法倾向与演 绎倾向交互繁荣、交替取得主导地位的螺旋式上 升过程。笼统说来，古代巴比伦和埃及式的原始 算法时期，被希腊式的演绎几何所接替；而在中 世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印 度等地区繁荣起来；17～18世纪应该看成是寻求 无穷小算法的英雄年代；从19世纪特别是70年代 以来，演绎倾向又重新在比希腊几何高得多的水 准上占据了优势；而从20世纪40年代中开始,主要 由于电子计算机的发明及应用,正预示着一个算法 倾向的新时代。下面就以此线索略微深入地介绍 古往今来数学的发展。
• 在这一时期，几何学作为独立的学问并不存在，而仅仅是 一种应用算术而已。
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古埃及纸草书(84个数学问题)
十进记数法, 算术运算—加法为主, 分数—以单位分数为基础, 一次方程, 面积,体积计算—
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莱茵德纸草书(1650 B.C.)(大英博物馆)
莫斯科纸草书(1890 B.C.) (25个数学问题)
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1642.12.25 (儒略历) 1661入剑桥大学; 1665.8—1667春,
家乡躲避瘟疫; 1667.10三一学院 成员; 1703 皇家学会会长 1727 逝世
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莱布尼茨 （1646-1716）
• 因此，综上所述，作为近代数学发生的标志的解 析几何与微积分，从方法论角度看都不能说是演 绎倾向而是算法倾向的产物。当然，17～18世纪 的无穷小算法与中世纪算法相比绝不可同日而语 ，而是有了质的飞跃。
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欧几里得， 约公元前300
欧几里得<原本> • 历史上第一个公理体系
13 卷 119 条定义 5 条公理, 5 条公设 465 条定理
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卷 I, II, III, IV 及 VI : 平面几何基本内容 卷 V : 比例论 无理量引起的麻烦之回避 卷 VII, VIII, IX : 数论 卷 X : 不可公度量分类
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线性方程组与“方程术”
• 中国古代最重要的数学经典《九章算术》（约公元前2世纪）卷8 的“方程术”，是解线性联立方程组的算法。以该卷第1题为例， 用现代符号表述，该问题相当于解一个三元一次联立方程组：
3x 2y z 39 2x 3y z 34 x 2y 3z 26
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• 这类复杂的算法，很难再仅仅被看作是简 单的经验法则了，而是高度的概括思维能 力的产物，这种能力与欧几里得几何的演 绎思维风格截然不同，但却在数学的发展 中起着完全可与之相媲美的作用。东方数 学在文艺复兴前夕通过阿拉伯地区传播到 欧洲，对近代数学的兴起产生了深刻影响 。
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学术著作几经兵火，焚毁殆尽。欧几里得的《几 何原本》原作亦失传，个别经他人修订过的转抄 本被逃亡学者携至拜占庭帝国的首都才得以幸存 ，但长期被禁锢在宫廷和教会之内，到很晚才重 新唤起欧洲人的重视。希腊几何的演绎精神，也 随着整个希腊文明的衰微而隐没不彰。
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古希腊最后一位数 学家希帕蒂娅，
。
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笛卡儿还认为希腊人没有说明他们是怎样发 现他们公开著作中公诸于众的那些定理、事 实的.他提出 “需要一种寻求真理的方法”
通用数学: 任何问题→数学问题→代数问题→
方程求解(多个未知量→单个未知量) 这终于导致了笛卡儿解析几何的诞生。
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• 笛卡儿要把几何学归结为算术运算，在欧 氏几何中需要特殊技巧才能证明的难题， 现在变成了一种可按确定的法则与程序进 行的代数运算和算术过程，它预示了定理 的机械化证明的可能性。
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• 解析几何与微积分的发明与应用使数学取得了前 所未有的巨大发展，但18世纪末，数学家们对数